โจทย์ทฤษฎีจำนวน + เฉลยเฉพาะคำตอบ
 

นำมาฝากครับ จากหนังสือ "เลข" และ หนังสือของสมาคมที่ทำไว้นานแล้วครับ :happy:

Click !!

ขอบคุณครับ :)

ขอบคุณครับ ขอให้ จขกท เก่งวันเก่งคืนยิ่งๆขึ้นไป

ให้กำหนดให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็ม $0<a<b<c<d<500$ จงแก้สมการ

$$a+d=b+c$$
$$bc-ad=93$$

ข้อนี้ทำอย่างไรหรอครับ ไปไม่เป็นเลย

สมการแรกลองยกกำลังสองแล้วจัดรูปดูซิ
สุดท้ายจะได้ (a,b,c,d)=(1,4,32,35),(2,5,33,36),(3,6,34,37),...,(465,468,496,499)

ขอบคุณครับ ลองเอามาทำดู

Attachment 6331

ตามรูปเลยครับ

223+280+224 = 727 จำนวน
Attachment 6332

Attachment 6333

$ 30! =2^{26} \times 3^{14} \times 5^7 \times 7^4 \times 11^2 \times 13^2 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29 $

มี 5 อยู่ 7 ตัว k จึงน่าจะเท่ากับ 7

แต่โจทย์กำหนด 5|a จึงต้องยืม 5 จาก k มา 1 ตัว

k จึงเท่ากับ 6

ขออภัย ไม่เห็นขีด

ข้อนี้ตอบ k = 7

Attachment 6334


ให้ $ 1000002 = m, 1000004 = m+2, 1000008 = m +6, 1000010 = m +8 \ $ จะได้

$p^2 = m \times (m+2)(m+6)(m+8) + n$

$p^2 = (m^2+8m)(m^2+8m+12) + n$

ให้ $m^2+8m = b \ $จะได้

$p^2 = b(b +12) +n$

$p^2 = b^2+12b +n$

n = 36 จะได้

$p^2 = b^2+12b +36 = (b+6)^2$

ตอบ $n = 36 \ $จะทำให้ $p \in N$

Attachment 6335

ค.ร.น. ของ 7, 8, 9 เท่ากับ 504

504 x 1037 = 522648

504 x 1038 = 523152

504 x 1039 =523656

504 x 1040 = 524160

จำนวนที่น้อยที่สุดที่อยู่ในรูป 523xxx คือ 523152

Attachment 6336

n คือจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 50 ซึ่งมี 15 จำนวน

รวมกับ n = 4 ที่ทำให้ (n-1)! หารด้วย 4 ไม่ลงตัว

จึงรวมเป็น 16 จำนวน

Attachment 6337

3295 - 3083 = 212

3666 - 3295 = 371

3666 - 3083 = 583

ห.ร.ม. ของ 212, 371, 583 เท่ากับ 53

53 หาร 3083 เหลือเศษ 9

pr = 53 x 9 = 477

Attachment 6338

จำนวนนั้นคือ
xxxxx28

ผลบวกเลขโดดหน้า 28 รวมกันเท่ากับ 18

ถ้าเป็นจำนวน 4 หลัก จะได้ 9928 ซึ่งหารด้วย 28 ไม่ลงตัว จึงเป็นเลข 5 หลัก

เลขโดด 3 ตัวรวมกันเท่ากับ 18 คือ 189, 198, 819. 891, 918, 981

18928 หารด้วย 28 ลงตัว และเป็นจำนวน 5 หลักที่น้อยที่สุด

ตอบ 18928

Attachment 6339



$7 \div 1001 $ เหลือเศษ 7

$77 \div 1001 $ เหลือเศษ 77

$777 \div 1001 $ เหลือเศษ 777

$7777 \div 1001 $ เหลือเศษ 770

$77777 \div 1001 $ เหลือเศษ 700

$777777 \div 1001$ เหลือเศษ 0

$7777777 \div 1001 = (7777770+7) \div 1001 $ เหลือเศษ 7

$77777777\div 1001 = (77777700+77) \div 1001$ เหลือเศษ 77

$777777777\div 1001 = (777777000+777) \div 1001 $ เหลือเศษ 777
.
.
.
.
เลขวน 6 รอบ

$1001 \div 6 $ เหลือเศษ 5 ซึ่งตรงกับ 700

ดังนั้นตอบว่า เศษที่เกิดจากการหาร 7777....7(1001ตัว) ด้วย 1001 คือ 700

ref : http://www.mathcenter.net/forum/show...3&postcount=16

Attachment 6341

$ \because \ \ \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{3} + \frac{n}{6} = \frac{n(n^2+3n+1)}{6} = \frac{n(2n+1)(n+1)}{6} =1^2 +2^2+3^2 + ... + n^2 $

$ \therefore \ \ n \in i$

$n \ $มี 2541 จำนวน