Mathcenter Forum

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)
-   ทฤษฎีจำนวน (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=19)
-   -   จำนวนเฉพาะ (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=5088)

mathstudent2 23 กรกฎาคม 2008 21:33

จำนวนเฉพาะ
 
มีจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป n^2+1 เมื่อ n เป็นจำนวนนับ อยู่เป็นอนันต์หรื่อไม่
แสดงวิธีหาคำตอบ :happy::happy:

dektep 23 กรกฎาคม 2008 21:57

ข้อนี้เป็น open problem อยู่ครับ

murderer@IPST 25 กรกฎาคม 2008 14:55

ถ้ามีคนรู้แล้วมันจะเอามาออกIMOมั้ยครับเนี่ย

nooonuii 25 กรกฎาคม 2008 18:23

จริงๆแล้วโจทย์ IMO #3 ปีนี้จะ trivial ไปเลยถ้าเราสามารถพิสูจน์ว่า

มีจำนวนเฉพาะในรูป $4k^2+1$ เป็นจำนวนอนันต์ ครับ :great:

Spotanus 27 กรกฎาคม 2008 13:57

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mathstudent2 (ข้อความที่ 36498)
มีจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป n^2+1 เมื่อ n เป็นจำนวนนับ อยู่เป็นอนันต์หรื่อไม่
แสดงวิธีหาคำตอบ :happy::happy:

แสดงว่า คุณ mathstudent2 พิสูจน์ได้แล้วใช่ม๊ยละครับ :laugh:

mathstudent2 31 กรกฎาคม 2008 16:21

ถ้าผมพิสูจน็ได้คงไม่ต้องมาถามคนเก่งอย่างพี่ๆ หรอกครับ

dektep 01 สิงหาคม 2008 20:59

คุณ mathstudent2 บอกผมว่าทำได้แล้วไม่ใช่เหรอครับ
เอาวิธีทำมาลงเลยครับ 555

RoSe-JoKer 01 สิงหาคม 2008 21:09

สมมุติว่ามี prime ที่เขียนในรูป $n_i^2+1$ เป็นจำนวนจำกัด ให้เป็น
$p_1,p_2,...,p_k$
ให้ $a_i$ เป็นจำนวนเฉพาะที่เหลือที่ไม่ใช่ $p_1,...,p_k$
เห็นได้ว่า
$(p_1p_2...p_ka_1a_2...)^2+1$ เป็น prime เกิดข้อขัดแย้ง
















(พูดเล่นครับ)

JanFS 01 สิงหาคม 2008 21:23

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer (ข้อความที่ 37038)
สมมุติว่ามี prime ที่เขียนในรูป $n_i^2+1$ เป็นจำนวนจำกัด ให้เป็น
$p_1,p_2,...,p_k$
ให้ $a_i$ เป็นจำนวนเฉพาะที่เหลือที่ไม่ใช่ $p_1,...,p_k$
เห็นได้ว่า
$(p_1p_2...p_ka_1a_2...)^2+1$ เป็น prime เกิดข้อขัดแย้ง
















(พูดเล่นครับ)

"- - ทำผมซีดไปเลยครับ ก่อนจะอ่านล่างสุดเนี่ย -*-

Anonymous314 01 สิงหาคม 2008 23:59

ใครคิดได้โคตรเก่งเลยครับ ขอคารวะเลย :great:

mathstudent2 02 สิงหาคม 2008 19:56

ผมไม่มั่นใจนะครับให้พวกพี่ช่วย check อีกทีแล้วกัน

ให้ P1<P2<P3<......<Pm เป็นจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เขียนในรูป n^2+1

กำหนด N(m+1) เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทุกจำนวนท่ีมีค่า น้อยกว่า หรือ เท่ากับ Pm
สร้าง {N(m+1)}^2 +1 จะได้ว่าจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2,3,5,.....,Pm หาร {N(m+1)}^2 +1 เหลือเศษ 1
ซึ่ง square root {N(m+1)}^2 +1 > N(m+1) ดังนั้น {N(m+1)}^2 +1 เป็นจำนวนเฉพาะ

นั่นคือ N^2+1 เป็นจำนวนเฉพาะมีจำกัด ขัดแย้ง
ไดว่า N^2+1 เป็นจำนวนเฉพาะมีเป็นอนันต์

*-* *-*

owlpenguin 02 สิงหาคม 2008 20:15

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mathstudent2 (ข้อความที่ 37124)
ผมไม่มั่นใจนะครับให้พวกพี่ช่วย check อีกทีแล้วกัน

ให้ P1<P2<P3<......<Pm เป็นจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เขียนในรูป n^2+1

กำหนด N(m+1) เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทุกจำนวนท่ีมีค่า น้อยกว่า หรือ เท่ากับ Pm
สร้าง {N(m+1)}^2 +1 จะได้ว่าจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2,3,5,.....,Pm หาร {N(m+1)}^2 +1 เหลือเศษ 1
ซึ่ง square root {N(m+1)}^2 +1 > N(m+1) ดังนั้น {N(m+1)}^2 +1 เป็นจำนวนเฉพาะ

นั่นคือ N^2+1 เป็นจำนวนเฉพาะมีจำกัด ขัดแย้ง
ไดว่า N^2+1 เป็นจำนวนเฉพาะมีเป็นอนันต์

*-* *-*

เท็จแน่นอนครับ เพราะว่ามันก็ยังมีจำนวนเฉพาะที่ไม่สามารถเขียนในรูป $n^2+1$ ที่หาร $\displaystyle\prod_{i = 1}^{m}P_i$ ลงตัวครับ

RoSe-JoKer 02 สิงหาคม 2008 22:10

เออ...
สมมุติ $p_1,p_2,...p_m$ คือจำนวนเฉพาะที่เขียนได้ในรูป $n^2+1$ แล้วให้ $a_1,a_2,...,a_s$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่ได้อยู่ในรูป $n^2+1$ ที่มีค่าน้อยกว่า $p_m$
คือจะให้ $(p_1p_2...p_ma_1a_2...a_s)^2+1$ เป็น prime แล้วเช็คตัวที่หารลงตัวที่น้อยกว่า $p_m$ ไม่ได้ เพราะว่ามันอาจมีจำนวนเฉพาะ q ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า
$p_m< q <p_1p_2...p_ma_1a_2...a_s$
:)

breeze123 23 กันยายน 2008 09:55

ก่อนอื่นจะพิสูจน์ว่าถ้า
$P_n$ เป็นจำนวนเฉพาะ โดยที่ $P_1 =2 $
และ $P_1<P_2<P_3<...<P_n$ แล้ว
$(P_1P_2P_3....P_n)^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n
จากทฤษฎีบทของจำนวนว่า
n จะเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ จำนวนเฉพาะ ที่มีค่า ตั้งแต่ 2 ถึง $\sqrt{n}$
ไม่สามารถหาร n ลงตัว
พิจารณา
ให้ $(P_1P_2P_3....P_n)^2+1=k$
จะได้ $k-1\equiv 0 \pmod{P_1}$ $k \equiv 1 \pmod{P_1}$
$k-1 \equiv 0 \pmod{P_2}$ $ k \equiv 1 \pmod{P_2}$
$k-1 \equiv 0 \pmod{P_3}$ $k \equiv 1 \pmod{P_3}$
.....
$k-1 \equiv 0 \pmod{P_n}$ $k \equiv 1 \pmod{P_n}$
นั่นคือ
จำนวนเฉพาะตั้งแต่ $2-\sqrt{k}$ ไม่สามารถหาร k ลงตัว (เหลือเศษ 1 )
ดังนั้น $k$ เป็นจำนวนเฉพาะ
พูดง่ายๆก็คือ เช่น
$2^2+1=5$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-5 มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
$(2x3x5)^2+1=901$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-901 มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
$(2x3x5x7x....x901)^2+1 = m$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-m มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
$(2x3x5x7x...xm)^2+1=n$
แล้วก็นำจำนวนเฉพาะจาก 2-n มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
ไปเรื่อยๆ ก็จะเป็นอนันต์ตัว
............................................
555+

nooonuii 24 กันยายน 2008 09:29

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ breeze123 (ข้อความที่ 39952)
ก่อนอื่นจะพิสูจน์ว่าถ้า
$P_n$ เป็นจำนวนเฉพาะ โดยที่ $P_1 =2 $
และ $P_1<P_2<P_3<...<P_n$ แล้ว
$(P_1P_2P_3....P_n)^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n
จากทฤษฎีบทของจำนวนว่า
n จะเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ จำนวนเฉพาะ ที่มีค่า ตั้งแต่ 2 ถึง $\sqrt{n}$
ไม่สามารถหาร n ลงตัว
พิจารณา
ให้ $(P_1P_2P_3....P_n)^2+1=k$
จะได้ $k-1\equiv 0 \pmod{P_1}$ $k \equiv 1 \pmod{P_1}$
$k-1 \equiv 0 \pmod{P_2}$ $ k \equiv 1 \pmod{P_2}$
$k-1 \equiv 0 \pmod{P_3}$ $k \equiv 1 \pmod{P_3}$
.....
$k-1 \equiv 0 \pmod{P_n}$ $k \equiv 1 \pmod{P_n}$
นั่นคือ
จำนวนเฉพาะตั้งแต่ $2-\sqrt{k}$ ไม่สามารถหาร k ลงตัว (เหลือเศษ 1 )
ดังนั้น $k$ เป็นจำนวนเฉพาะ
พูดง่ายๆก็คือ เช่น
$2^2+1=5$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-5 มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
$(2x3x5)^2+1=901$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-901 มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
$(2x3x5x7x....x901)^2+1 = m$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-m มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
$(2x3x5x7x...xm)^2+1=n$
แล้วก็นำจำนวนเฉพาะจาก 2-n มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
ไปเรื่อยๆ ก็จะเป็นอนันต์ตัว
............................................
555+

แต่ $\sqrt{k}>P_1P_2\cdots P_n>\cdots > P_n>\cdots > P_1$

จึงยังเหลือจำนวนเฉพาะอีกบานเบอะที่วิธีข้างบนยังเช็คไม่ได้

ไม่อยากสกัดดาวรุ่งเลยครับ อยากให้เป็นจริง !!!! :great:


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 18:04

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha