หา range และแก้สมการ exponential
 

โจทย์นี้เคยโพสต์ไว้แล้วในกระทู้ Selected from ก.พ. แต่ตอบไม่ชัดเจน
ยังไงก็ช่วยคิดกันอีกทีละกันนะ อะคิ อะคิ :D

1.กำหนด f(x) = ึ2x² + x? 1
และ g(x) = log₂( \( \frac{X}{1 - x²} \) )

จงหา R _f+g

2.กำหนดให้ A = { x | 2 ^3x + 2 ^2x-1 - 2^x-1 ฃ 3 }
และ f : A ฎ R โดยที่
f(x) = ึ( x - 1)² ทุก x เป็นสมาชิกของเซต A
จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดของ f

เพื่อหาเซ็ต A เราแก้อสมการข้างบนโดยให้ \(u=2^x\) แล้วเราจะได้ว่า \(u>0\) และ \(p(u)\le0\) โดยที่\[p(u)
=u^3+\frac{u^2}{2}-\frac{u}{2}-3\]p(u) มีรากจริงรากเดียวอยู่ที่\[r=
\frac{-1+\sqrt[3]{314+9\sqrt{1213}}+\sqrt[3]{314-9\sqrt{1213}}}{6}=
1.396451454492682\dots\]เราจึงได้ว่า \(0<u\le r\) นั่นคือ \(-\infty<x\le\log_2r=0.481765421394443\dots\) หรือ \(A=(-\infty,\log_2r]\) นั่นเอง

จาก \(f(x)=\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|\) ดังนั้นเราจึงได้ \(R_f=[1-\log_2r,\infty)\)

สรุปคือ \(1-\log_2r=0.518234578605556\dots\) เป็นค่าต่ำสุดของ f แต่ f ไม่มีค่าสูงสุดครับผม :)

เนื่องจาก \(D_f=(-\infty,-1]\cup[1/2,\infty)\) และ \(D_g=(-\infty,-1)\cup(0,1)\)
ดังนั้น \(D_{f+g}=D_f\cap D_g=(-\infty,-1)\cup[1/2,1)\)

เนื่องจาก\[\lim_{x\to1^-}(f+g)(x)=+\infty\]และ \((f+g)(x)\) เป็น strictly increasing continuous function ในช่วง \([1/2,1)\) ดังนั้น range ของ \((f+g)(x)\) ในช่วง \([1/2,1)\) จึงเป็น \([(f+g)(1/2),\infty)\) ซึ่งก็คือ \([1-\log_23,\infty)\) นั่นเอง

เนื่องจากเมื่อ \(x<-1\) แล้ว \((f+g)(x)>0\) เสมอ และจากที่ \(1-\log_23<0\) ทำให้เราสรุปได้ว่า \(R_{f+g}=[1-\log_23,\infty)\) ครับผม :)

พี่ warut ช่วยตรวจดู ข้อ 2 ที่ผมคิดด้วยครับ รู้สึกผมจะมั่วแล้วมันตะหงิดๆ อ่ะครับ
จาก 2u³+ u² - u - 6 ฃ 0
2u³ฃ-[u-3][u+2]
เมื่อ ลองแทนค่า u ลงไปแล้วจะพบว่า
u ฃ1
2^xฃ1
xlog2ฃ0
xฃ0

\ f(x) = 1-x
ค่ามากที่สุดคือ 1
ค่าน้อยสุดหาไม่ได้อ่ะครับ

ประเด็นของผมคือ ข้อสอบทุนเล่าเรียนหลวง ยากขนาดนี้เลยเหรอครับ???

คือถ้าแทนค่า u = 1.2 ก็จะเห็นว่าใช้ได้เหมือนกัน ตัวที่ดีที่สุดคือตัวที่ผมให้ไว้ข้างบนครับ
อีกอย่างคือเราต้องใช้ f(x) = |x - 1| = |1 - x|, x ฮ A ครับผม :)

ผมว่าน่าจะเป็นเพราะโจทย์ผิดมากกว่านะครับ แต่ผมเห็นน้องเค้าอยากได้คำตอบจริงๆผมก็เลยลองทำดูน่ะครับ

ยังไงก็ขอบคุณพี่ warut และทุกคนมากนะคะที่ช่วยกันคิด ถึงแม้ว่าโจทย์จะผิดก็ตาม
แต่ก็ทำให้ได้รู้ถึงวิธีคิดแบบล้ำลึกของพี่ warut ยังไงล่ะคะ
ขอให้พี่ warut ได้ลงในนิตยสาร My Maths สมใจละกันนะคะ