Lipschitz condition
 

ช่วยแนะ ไอเดียในการพิสูจน์ อันนี้หน่อยครับ

ให้ $f\in R[a,b]$ และสอดคล้องกับเงื่อนไข ลิฟชิต และ $f'(x)=0$ ยกเว้นเซตที่มีเมเชอร์ ศูนย์ แล้ว $f$เป็นฟังก์ชันค่าคงที่บนช่วง $[a,b]$ :sweat:

ลองพิสูจน์ว่า $f$ เป็น absolutely continuous function ก่อน โดยใช้ Lipschitz condition

ซึ่งจะทำให้ทฤษฎีบทหลักมูลแคลคูลัสเป็นจริง นั่นคือ

$f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)dt,x\in [a,b]$

แต่จากเงื่อนไขของอนุพันธ์เทอมหลังจะเป็นศูนย์ไป จึงเหลือแค่ $f(x)=f(a)$ ทุก $x\in [a,b]$

ขอบคุณครับ:kaka:

แต่ถ้าใช้ วิธีนี้ $\int f'(x)dx = 0 a.e$ แสดงว่าเราต้อง แสดงว่า ถ้า $S=\{x\in[a,b]|f'(x)\neq 0\}$

ต้องแสดงว่า $\forall x\in S$ จะได้ $f(x)=f(a)$

อันนี้แสดงคงไม่อยากมั้งครับ ใช้สมบัติ ของ S ที่มีเมเชอร์ ศูนย์ แล้วแสดงว่า
$ \forall \varepsilon >0 ,|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

ถ้าเป็นอันนี้หล่ะครับ
ให้ $h:[a,b]\rightarrow R$ และ $h$ ต่อเนื่องบน $[a,b]$ และ $h'(x)=o ,a.e.$ แล้ว h เป็นฟังก์ชันเพิ่ม บน $[a,b]$

: ถ้าพิจารณา ถึง ฟังก์ชันต่อเนื่อง และ กราฟของฟังก์ชัน แล้ว มันเห็นชัดเจน นะครับว่า เป็นฟังก์ชันเพิ่ม แต่ พอเขียน proof ผมเขียนไม่ได้หน่ะครับ :p

ไม่จำเป็นต้องสนใจกรณีนั้นเลยครับ เพราะ integral บน set of measure zero จะเป็นศูนย์

integral มันฆ่าจุดพวกนั้นทิ้งไปหมดอยู่แล้ว

มันก็วนกลับมาปัญหาเดิมนั่นแหละครับ

$h$ ต่อเนื่องบน compact set $[a,b]$ จะได้ว่า $f$ ต่อเนื่องแบบ uniform

ซึ่งจะทำให้ $h$ เป็น Lipschitz function อีกแล้ว

สรุปว่า $h$ เป็นฟังก์ชันคงตัว ซึ่งเป็นทั้งฟังก์ชันเพิ่ม และ ฟังก์ชันลด

ผม พิมพ์ผิดครับ เพราะว่า h'(x) มากกว่าเท่ากับ 0 ครับ ขอโทษทีครับ ^^
อ่อที่ผมสนใจ สมาชิกในเซตที่มีเมเชอร์ศูนย์ เพราะ มันเป็นหัวข้อสัมมนาหน่ะครับ
เพราะผมไม่สามารถอ้าง การอิททิเกรท บนเซตที่มีเมเชอร์ ศูนย์ ได้ เนื่องจากผมกำลังจะพิสูจน์นะครับ เพื่อเอาไปใช้หน่ะครับ