Geometry marathon
เช่นเดียวกับกระทู้ number theory marathon และ inequality marathon นะครับ
1.ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอดที่ E และ F บนด้าน AB และ BC ตามลำดับ ลาก DE และ DF ไปพบ AB และ BC ที่จุด G และ H ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า DGH เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า |
ลองสร้างรูปดูแล้วครับ จะได้ว่ารูปที่ได้มีกรณีที่เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าไม่ทุกกรณี
มีบางกรณีเท่านั้น(ไหม) :) |
เอ ไม่ค่อยเคลียร์อะครับ สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ยอดที่ E , F นี่ ฐานอยู่ที่ไหนหรอคับ :confused:
ปล.ขอแสดงความยินดีกับคุณ Tony , Alberta แล้วก็ผมเองด้วยครับ ที่ผ่าน สอวน. รอบแรก ศูนย์ภาคใต้ :D |
สำหรับรูปนะครับ
จะเห็นว่าไม่ทุกกรณีนะครับ(ลองสร้างดูได้) :D ปล.ดีใจด้วยเช่นกันครับคุณtum |
โทดทีครับ กรณีที่โจทย์ต้องการคือกรณีแรกครับ ละก็เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่านะครับ แก้ไขแล้ว สามเหลี่ยม2รูปอยู่ในสี่เหลี่ยม นะครับ
|
พอดีคุณ Char Aznable ฝากมานะคับ
ก่อนแก้ อ้างอิง:
อ้างอิง:
แล้วก็ฝากมาว่า คิดเฉพาะกรณีที่รูปสามเหลี่ยมอยู่ข้างใน (ต้องเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวแตกต่างกันไม่มาก) ดังรูปนี้ครับ |
คิดแบบไม่ใช้สมอง ใช้แต่แรงงานอะ
จากรูป สมมติว่า ด้าน AB = x ด้าน BC = y ความสูงของ ABE = \(\frac{\sqrt{3}}{2}x\) ความสูงของ BCF = \(\frac{\sqrt{3}}{2}y\) ความยาว AH = \(2(x - \frac{\sqrt{3}}{2}y) = 2x - \sqrt{3}y\) ความยาว CG = \(2(y - \frac{\sqrt{3}}{2}x) = 2y - \sqrt{3}x\) ความยาว BH = AB - AH = \(\sqrt{3}y - x\) ความยาว BG = BC - CG = \(\sqrt{3}x - y\) \[DH^2 = AD^2 + AH^2 = y^2 + (2x - \sqrt{3}y)^2 = 4x^2 + 4y^2 - 4\sqrt{3}xy\]\[DG^2 = AB^2 + CG^2 = x^2 + (2y - \sqrt{3}x)^2 = 4x^2 + 4y^2 - 4\sqrt{3}xy\]\[GH^2 = BH^2 + BG^2 = (\sqrt{3}y - x)^2 + (\sqrt{3}x - y)^2 = 4x^2 + 4y^2 - 4\sqrt{3}xy\] เพราะว่า DG = GH = DH ดังนั้น DGH จึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า |
ไม่รู้จะตั้งโจทย์ไรดี ... เอาอันนี้ละกัน โจทย์ classic
สมมติมีพื้นผิวอยู่สองอัน นิยามโดย F(x, y, z) = 0 และ G(x, y, z) = 0 เมื่อ F(x, y, z) และ G(x, y, z) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ทุกจุด สมมติว่าพื้นผิวสองอันตัดกันแล้วเป็นเส้น (homeomorphic กับ subset ของเส้นรอบวงของวงกลม) จงหา tangent vector ของรอยตัดที่เป็นเส้น ๆ (ไม่ต้อง normalize ขนาดให้นะ) |
ก่อนอื่น หลังจากได้รูป(ขอยืมรูปจากน้อง tummykunฯมาประกอบ) ลาก HE'ตั้งฉากกับ DG, GF' ตั้งฉากกับ DH ข้อสองของคุณ tunococ ถามโหดจัง จะมีเซียน geometry หรือ analysis มาตอบสักกี่คนละนี่ :eek:ดังนั้นเราจะได้ว่าสี่เหลี่ยม E'GBH และสี่เหลี่ยม F'GBH cyclic จากรูปเราสามารถแสดงได้ว่า \(\hat{1}=\hat{2}=\hat{3}=30°,\ \hat{4}=\hat{1}+\hat{2}=60°,\ \hat{5}=\hat{2}+\hat{3}\) ซึ่งทำให้มุมที่เหลือเป็น 60° ด้วย ### :D |
เฉลยของคุณ nongtum น่าจะเป็นอะไรที่เค้าต้องการนะครับ :)
ส่วนโจทย์ของผมเนี่ย เอามาให้ดูเพราะว่าคำตอบมันเจ๋งดีอะครับ (ง่ายอย่างไม่น่าเชื่อ) :p อ้อ ... โจทย์ไม่ได้ถามสมการรอยตัดนะครับ ไม่ต้องหา แค่หา tangent vector ในเทอมของ x y z ก็พอ ไม่ต้องสนใจกรณีที่ (x, y, z) ไม่อยู่บนรอยตัดด้วย |
ยังคิดข้อบนไม่ได้ทีครับ :D ...แต่เอาข้อนี้ด้วยนะ
แมลงตัวหนึ่งไต่รอบพีระมิดแก้วตรงมีฐานเป็นสามเลี่ยมด้านเท่าดังรูป แล้วบินหนีไป ถ้า AB = BC = CD = DE = EF จงหาขนาดของมุม ะEAF |
ก็ จากที่มันหมุนซะรอบทิศ ขอจับมารวมกันไว้ด้านเดียวนะครับ
จากรูป ให้ \(E\hat AF \ = \ A\hat BC \ = \ x\) นั่นคือ \(X\hat CE \ = \ x\) ด้วย (มุมแย้ง) จะได้ \(C\hat BD \ = \ C\hat DB\ = \ x+x\ = 2x\) (มุมภายนอก) แล้วก็มุมภายนอกอีกทีได้ \(X\hat CD \ =\ 2x+2x\ = 4x\) ซึ่ง \(E\hat CD \ = \ X\hat CD -X\hat CE \ = \ 4x-x\ = 3x\) ทำแบบนี้อีกครั้ง จะได้มุมที่ฐานเป็น 4x ทั้งคู่ นั่นคือ 4x + 4x + x = 180 ได้ x = \( 20^\circ \) ครับ :D |
ถูกแล้วครับ
อืมพอดีอยากถามว่าใครเคยเห้นข้อข้างบนที่ผมเอามาpostบ้างครับว่าเป็นข้อสอบอะไร(พอดีได้มาจากเพื่อนอะครับก็เลยอยากรุ้ว่าเป็นข้อสอบเก่ าของที่ไหน) ปล.ข้อนี้ตอนผมคิด ไม่ทันคิดแบบเอามารวมกันบนหน้าเดียวก็ปาเข้าไปยาวเหยียดเลยครับ :D |
ข้อ 2 ของคุณ tonococ โหดจังครับ
ความรู้ยังไม่ถึงเลยอะครับ ผมยกสิทธิ์ที่ตอบคำถามของคุณ Alberta ให้เป็นคำถามของคุณ tonococ ต่อนะครับ ถ้าสะดวกรบกวนขอ hint ได้ไหมครับ |
อ่า ... ผมว่า ช่วย ๆ กันถามก็ได้หนิครับ มีหลาย ๆ ข้อก็น่าจะดีกว่า :)
ส่วน hint หรอครับ ... ว่าไงดีหละ ... ลองดูเรื่อง gradient ของฟังก์ชันละกันครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 10:43 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha