ข้อสอบสมาคม ม.ปลายปี 2548
 

ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย มาให้เพื่อนๆพี่ๆ mathcenter สนุกสนานกานอีกแร้วคับ รู้สึกจะง่ายกว่าปีก่อนนะครับ (ปีก่อนผมทำ 4 คะแนนแทบมะได้สักข้อ >< )
แต่ถึงจาพอทำได้บ้างนิดหน่อย แต่ผมก้อผิดโง่ๆอีกตามระเบียบ โดยเฉพาะข้อสุดท้าย -*- ให้หา "ผลรวมคำตอบ" มะใช่ หาค่า x หุหุหุ
อ่า ใหม่ๆ โดนย่อภาพซะง้าน

เยี่ยมมากเลยครับ ใครว่าง ๆ มาร่วมเฉลยกันเถอะ ! :D ปีนี้หวังว่าคงไม่มีข้อที่แบบต้องมาแก้โจทย์กันอีก

โจทย์ข้อ 19 ผิดอ่าครับ
จิงๆ คนออกคงตั้งใจให้เปน z+1/Z แต่ผมไม่ได้ทำไปเพราะคิดว่า
คงให้ฟรี
เลยอยากรู้ว่าจะติดต่อ ทางสมาคมยังไงว่าโจทย์ผิด

เริ่มจากตอนที่หนึ่ง หากอยากได้เฉลยละเอียดข้อไหนบอกได้ครับ โปรดอย่าเชื่อจนกว่าจะได้ทดด้วยตนเอง

1. ข. (\(0<\sin{2°}<<1, \cos{2},\tan{2}\) เป็นลบ)
2. ค. (\(\displaystyle\large{\frac{3^{102}}{2^{100}+3^{101}}
=\frac{3(2^{100}+3^{101})-3\cdot2^{100}}{2^{100}+3^{101}}
=3-\underbrace{xxx}_{<1}}\))
3. ก.
4. ง.
5. ง.
6. ข.
7. ก. (\(f=f^{-1}\))
8. ง. (\(a_1=-48d\))
9. ง.
10. ค. \((n-4)(n-2)(n+2)(n+4)+36=(n^2-10)^2,\ n=40\)
11. ข.
12. ง.
13. ข.
14. ข.
15. ข.

Edit1: แก้คำตอบข้อ 5,6,8,14,15
Edit2: แก้ข้อ 7 (ทดได้ ก. แต่ตันพิมพ์ ข. -_-")

ผมคิดได้แบบนี้ อ่าคับ

1 ข
2 ค
3 ก
4 ง
5 ง
6 ข
7 ก
8 ง
9 ง
10 ค
11 ข
12 ง
13 ข
14 ข
15 ข

ถึงว่าข้อ 19 ผมงงอยู่ โจทย์ผิดนี่วา แล้วข้อ 18 ไม่กำหนดdet ของอะไรสักตัวมันจะหาได้เหรอครับ ข้ อ6 ได้คนะครับ ผมเลยหา a-1 ทีละตัวแล้ว

ผมอยากรู้เฉลยข้างหลังอะครับข้อ 4 คะแนน ใครช่วยอธิบายได้ จะเป็นบุญอย่างยิ่ง แล้วผมฝากถามพี่กร หน่อยครับว่า ถ้าเราตอบคำตอบเขาไม่ครบเนี่ย จะได้คะแนนบ้างไหมครับ ผมกลัวนับคู่อันดับไม่ครบอะครับ

ข้อ 6
ได้ A^-1 =

4 -2 1 -3
1 1 0 0
-1 0 1 0
-2 0 0 1

ครับ ลอง คูณกับ A ดู ดังนั้นได้ ค่ามากสุดคือ 4

คำเตือน: อย่าเชื่อจนกว่าจะได้ทดเอง

16. ค?? \[{\sqrt{3^{2n}-3^n+1}-\sqrt{3^{2n}}
=\frac{-3^n+1}{\sqrt{3^{2n}-3^n+1}+\sqrt{3^{2n}}}
=\frac{-1+1/3^n}{\sqrt{1-1/3^n+1/3^{2n}}+1}
{\buildrel{n\rightarrow\infty}\over{\rightarrow}}{-\frac{1}{2}}}
\]

17. ก. ให้ตัวแรกเป็น a₁ อัตราส่วนร่วมเป็น r จะได้ \(a_1r^5(1+r^3)=52=(-2)(-26)=(-2)(1+(-3)^3)\) นั่นคือ r=-3

23. ก. ให้ P มีพิกัดเป็น P(c,x) จากโจทย์จะได้ b:a=x:c หรือ x=cb/a แทน P ในสมการวงรีจะได้ 2(c/a)²=1 หรือ \(e=c/a=1/\sqrt{2}\)

27. ให้ a=log₃(x+y) จะได้
\(a^2+(\frac{1}{a})^2=2-(x+1)^2
\Leftrightarrow(a-\frac{1}{a})^2+(x+1)^2=0
\Leftrightarrow({a=\frac{1}{a}\wedge{}x=-1})\)
นั่นคือ (x,y)=(-1,4), (-1,4/3)

28. แยกตัวประกอบสองเทอมแรกด้วยสูตรผลต่างกำลังสามและเอกลักษณ์ฟังก์ชันตรีโกณฯ จะได้\[
3(\sin{x}\cos{x})^2-\alpha\sin{x}\cos{x}-1
=3(\sin{x}\cos{x}-\frac{\alpha}{6})^2-\frac{a^2}{12}-1\le0
\Leftrightarrow(3\sin{2x}-\alpha)\le\alpha^2+12\]
เนื่องจาก \(-1\le\sin{2x}\le1\) จะได้ว่า \((\pm3-\alpha)^2\le\alpha^2+12\) (ไม่แน่ใจนะครับว่าทำแบบนี้ได้ไหม)
แก้ทีละอสมการ แล้วนำคำตอบมา intersect กัน จะได้ว่าอสมการนี้จึงเป็นจริงทุกจำนวนจริง \(\alpha\in[-0.5,0.5]\)

29. จำนวนเต็มใดๆเมื่อยกกำลังสองแล้วหารด้วยสามจะหารลงตัวหรือได้เศษเป็นหนึ่ง เราจะคิดแจงกรณีดังนี้
กรณีแรก: เลือกจำนวนจากจำนวนที่หารสามลงตัวอย่างเดียว ได้ทั้งหมด 2⁵=32 วิธี
กรณีที่สอง: เลือกจำนวนจากจำนวนที่หารสามไม่ลงตัวอย่างเดียว ได้ทั้งหมด \({9\choose0}+{9\choose3}+{9\choose6}+{9\choose9}=170\) วิธี
รวมทั้งสิ้น 32*170-1=5439 วิธี (Thank you nong Nithi)

30. ตาราง 9x9 มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด 1+4+9+...+81=285 รูป ไว้คิดออกหรือมีคนอื่นตอบได้ก็เชิญตอบได้นะครับ

32. จัดรูปใหม่แล้วแยกตัวประกอบจะได้ (n-2)(m-5)=10 นั่นคือ (m,n)=(3,15),(4,10),(7,7),(12,6)

33. จำนวนเต็มสามหลักนี้ต้องหารด้วยสามสิบลงตัว จะได้ว่าหลักหน่วยของเลขนี้เป็นศูนย์ ผลบวกของเลขโดดไม่เกินสิบแปด เราจึงพิจารณาจำนวนจาก 120,150,180,...,540 ตามเงื่อนไขโจทย์ จะได้ว่า 270 ตัวเดียวเท่านั้นที่สอดคล้องเงื่อนไขทั้งหมด

edit1: แก้ข้อ 17,27,28,29,30

ข้อ 30 อ่าคับ

มันมีรูป สี่เหลี่ยมเอียงๆ ด้วยนะครับ เอียงหลายแบบ หลายขนาดด้วย

\[A^2+A=A(A+I)=I\quad\Rightarrow\quad(A+I)^{-1}=
A\]\[A-I=-A^2\quad\Rightarrow\quad(A-I)^{-1}=-A^{-2}=
-(A+I)^2=-(A^2+2A+I)=-(A+2I)\]\[\therefore\quad
\det((A+I)^{-1}+(A-I)^{-1})=\det(-2I)=(-2)^3=-8\]

แหะๆๆ ยิ่งดูเฉลยยิ่งช้ำใจ ทดผิดหลายข้อเลยครับ T_T
|-2I| matrix 3x3 ผมตอบ -2 ไปเฉ้ย
และอีกหลายๆข้อ แหะๆๆ (ม่ายอยากประจานความเน่าตะเอง แง้ว) -*-

ข้อ 27 เหมือนคุง nongtum นะครับ แต่รู้สึกเลขจาผิด
a = log₃ (x+y)
จัดรูปเป็น (a-\( \frac{1}{a} \)² = -(x+1)²
จึงได้ x = -1 และ a-\( \frac{1}{a} \) = 0
ได้ a²-1 = 0 --> (a+1)(a-1) = 0
log₃ (y-1) -1 = 0 --> y = 4
log₃ (y-1) +1 = 0 --> y = 4/3
ตอบ (-1, 4) ,(-1, 4/3)

ข้อ 31 หาธรรมดาๆ ได้ 72.1272 ประมาณป็น 72.13 (ถ้าคิดเลขไม่ผิดอีก)
(แม้แต่ข้อนี้ ผมก้อลืมประมาณเลข ตอบไป 72.12 โอ้ว ให้ตายสิ กรรมการคร๊าบ ให้ผมเห๊อะ สักข้อ แหะๆๆ) :(

ข้อ 33 ไม่ต้องไล่เลขขนาดนั้นก็ได้หนิครับ
ให้ abc เป็นเลข 3 หลัก
จากโจทย์จะได้ 30(a+b+c) = 100a+10b+c --> 0 = 70a-20b-29c
ซึ่งสังเกตหลักหน่วยทำให้ทราบว่า c = 0
ดังนั้นจะได้ 7a = 2b ซึ่ง (a,b) = (2,7) กรณีเดียว ตอบ 270
ปล.ซึ่งผมทดผิด มันดันเหลือ 0 = 70a-20b-20c เลยตอบไป 6 คำตอบ เฮ่อ...

ข้อ 35 ลองดูจากกรณีง่ายๆก่อน
เลข 2 1 ตัว --> |2-x| = 1 --> x = 1,3
เลข 2 2 ตัว --> |2-|2-x|| = 1 --> x = -1, 1, 3, 5
...
เลข 2 n ตัว --> x = -(2n-3), -(2n-5),.... , 2n-1 , 2n+1
S x = 2n-1 + 2n+1 = 4n (พจอื่นหักล้างกันหมด)
เลข 2 2005 ตัว ผลรวมคำตอบเป็น 8020
ปล.ซึ่งผมตอบในกระดาษคำตอบไปว่า -4007, -4005,...,4011 ซะอย่างงั้น T_T
ปล.2 สรุป สมาคมปีนี้ผมจามีข้อถูกสักข้อไม๊เนี่ย ฮือ.... :(

ข้อ 7 ไม่ได้ตอบ 0 หรือครับ ถ้า f เท่ากับ f^-1 มันน่าจะลบกันหมด

คิดอะไรผิดหรือเปล่าครับ ผมคิดได้ 5439 วิธี คิดอย่างนี้ครับ ที่มาก็คล้ายๆ กัน
ขั้นที่ 1 เลือกจำนวนจากจำนวนที่หารสามลงตัวอย่างเดียว ได้ทั้งหมด 2⁵=32 วิธี
ขั้นที่ 2 เลือกจำนวนจากจำนวนที่หารสามไม่ลงตัวอย่างเดียว ได้ทั้งหมด \({9\choose0}+{9\choose3}+{9\choose6}+{9\choose9}=170\) วิธี
เพราะฉะนั้น จะมีวิธีการเลือกทั้งหมด 32ด170=5440 วิธี แต่ที่นับตรงนี้เรารวมวิธีการที่ไม่ได้เลือกอะไรเลยไปด้วย เพราะฉะนั้นต้องหักออก 1 วิธี เหลือ 5439 วิธีครับ

ข้อ 30 ตอบ

1ด9²+2ด8²+...+9ด1² = 825 ครับ

ไว้ว่างๆ จะมาเฉลยวิธีคิดให้

ข้อ 34 สนุกดีจัง

กำหนดให้
\(\large f(x)=y = \sqrt[3]{x^{2}+2x} \)

ดังนั้น
\(\large y^{3}= x^{2}+2x= (x+1)^{2}-1\)

หรือหมายความว่า
\(\large x+1= \sqrt{y^{3}+1} \Rightarrow x=\sqrt{y^{3}+1}-1=g(y) \)

เพราะ y เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน [0,2] และ หลังจากลงจุดหัว-ท้ายของ y=f(x) ที่ x=0,2 ก็จะได้ y=0,2 ตามลำดับ จากนั้นเมื่อตีกรอบ บริเวณ [0,2]x[0,2] บน ระนาบ XY ก็จะพบว่า
\( \large \int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{0}^{2} g(y) dy = 2 \cdot 2=4\)
หรือเท่ากับว่า
\( \large \int_{0}^{2} (f(x) + g(x)) dx = 4 \Rightarrow \int_{0}^{2} (\sqrt[3]{x^{2}+2x}+\sqrt{x^{3}+1}-1) dx=4\)

ดังนั้นคำตอบที่โจทย์ต้องการคือ
\( \large 4+\int_{0}^{2} (1)dx = 6\)

ส่วนข้อ 28 ผมว่าข้อความด้านล่าง ไม่น่าจะจริงสำหรับ ทุกจำนวนจริงaนะครับ

\(\large 3(sinxcosx-\frac{\alpha}{6})^{2}\leq \frac{\alpha^{2}}{12}+1 \)
ฝากคุณ nongtum check อีกทีแล้วกันครับ

แล้วก็แถมให้อีก 3 ข้อแล้วกัน
22. ก 24. ข 25. ค
ถ้าหายขี้เกียจ แล้วจะมา post วิธีทำให้นะครับ :D

ตามล้างตามแก้ที่ทำผิดแล้วนะครับ แต่หากยังมีที่ผิดก็บอกได้นะครับ ครั้งนี้ก็เหมือนเดิมอย่าเชื่อจนกว่าจะได้ทดเอง

19. ก. เนื่องจาก \(z^2+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2-2=1\) และ \(z^3+\frac{1}{z^3}=(z+\frac{1}{z})^3-3(z+\frac{1}{z})=0\) ดังนั้นจาก \(0=(z^2+\frac{1}{z^2})^2(z^3+\frac{1}{z^3})
=(z^7+\frac{1}{z^7})+2(z^3+\frac{1}{z^3})+(z+\frac{1}{z})\) จะได้ \((z^7+\frac{1}{z^7})=-\sqrt{3}\)

20. ก. (\(0=\cos{(\pm\frac{\pi}{2})}=\cos(\arccos{(\frac{3x}{4})}-\arccos{(1-x)})\))

26. ให้ |AP|=x, |PQ|=z, |QB|=y จะได้ x+z=2y, y+z=2x หรือ x=y=z
ให้ \(\vec{BC}=3\vec{a},\ \vec{BA}=3\vec{x}\) จะได้ \(\Delta{}ABC=(9/2)|\vec{a}\times\vec{x}|,\ \Delta{}QBR=(2/2)|\vec{a}\times\vec{x|},\ \Delta{}SAP=(1/2)|\vec{x}\times2(\vec{a}-\vec{x})|=|\vec{x}\times\vec{a}|\)
ดังนั้น k=5/18

เหลือไม่กี่ข้อแล้ว ช่วยๆกันหน่อยครับ ;)

Edit2: แก้ข้อ 26