ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ
 

ช่วยพิสูจน์ตามข้อ1และข้อ2หน่อยครับขอบคุณครับ 1.ให้ a,b\in R และ a<b พิสูจน์ว่า sub(a,b)=b และ inf(a,b)=a
2.ให้ A และ B เป็นสับเซตที่ไม่ว่าง ของ R ถ้า A และ B มีขอบเขตบน จงพิสูจน์ว่า A\cup B มีขอบเขตบนและ
Sup(A\cup B)=Max{SupA,SupB}

ลองเอานิยามของ inf กับ sup ออกมาดูก่อน

มันคือ lower bound ตัวใหญ่สุด กับ upper bound ตัวเล็กสุดใช่ป่าว

ก็มาดูช่วงของ (a,b) ที่เป็น sub set ของ R

และสมาชิกทุกตัวที่อยู่ในช่วงนี้ ทุกตัวในนี้จะใหญ่ไม่เกิน b

เพราะงั้นก็ทำตามนิยามสิ อย่างจะ prove ว่า sup(a,b)=b ใน case ที่ a<b

สมมติว่ามันไช่ b แต่ดันเป็นตัวอื่น c ละกัน เพราะฉะนั้นให้ c=sup(a,b)

เพราะฉะนั้นสมาชิกทุกตัวใน sub set นี้จะใหญ่ไม่เกิน c รวมทั้ง a,b ด้วย

เลยได้ a<b<c ด้วย แต่ด้วยความที่ว่า sup มันเป็น least upper bound คือเล็กสุดแล้ว

แต่จาก (b,c) มันเป็น sub set ที่ dense ใน R มันเลยมีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวในช่วงนี้

ที่ดันเล็กกว่า c สมมติว่าสมาชิกที่ว่าเป็น t ละกัน เลยได้ t ดันเป็น upper bound อีกตัว

ที่มีขนาดเล็กกว่า c ซึ่งก็สมมติไว้ว่า least สุดแล้ว ก็ขัดแย้ง

เพราะงั้นน่าจะสรุปได้ว่า upper bound ตัว least สุด ต้องเป็นปลายช่วงคือ b ก็จบ

ส่วนข้อที่ 2 มีคนเคยพิมพ์ไว้แล้วกระทู้ล่างๆ ลองไปหาดูนะครับ

ปล. ผมทิ้งคณิตมาเป็นปีแล้ว ผิดตรงไหน ไม่ make sense ตรงไหนก็ปรับตามความเหมาะสมนะครับ :laugh:

ขอบคุณครับ Aquila

เหมือนว่าตรงนี้จะผิดนิยาม dense set ไปหน่อย โทษนะครับ :please:

แต่เอาอันอื่นมาใช้อ้างได้เลย เพราะมันน่าจะ choose สมาชิกเล็กกว่าโดยที่ไม่ต้องอ้างตรงนี้ได้อยุ่แล้ว :laugh:

เอาเถอะ สู้ๆนะครับ :great:

เป็นลอจิก ไปๆ มาๆ จนยอมรับได้ ก็ตอบโจทย์ข้อนี้

ยกตัวอย่างเยอะๆ ที่ได้ก็เป้นคำตอบ ที่ไม่ได้ก้ไม่ใช่ตัวอย่างที่ถูกต้อง