โจทย์เพชรยอดมงกุฏ ปี 2551 บางข้อ
 

รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ


ขอบคุณครับ

19.

1. คูณ a ในโจทย์ จริง

2. $a^5 = a^3+a^2 = a^2+a+1 = a^4+1$ จริง

3. $a^4 = a^2+a = a^3+a^2-1$ จริง

4. $a^4+a^3 = a^2+a+a+1 = a^2+2a+1$ ไม่จริง

24. $\dfrac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } = \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} }{n(n+1)+(n+1)\sqrt{n(n+1)}-n\sqrt{n(n+1)}-n(n+1) } = \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)} } = \dfrac{1}{\sqrt{n} }-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} $

$\therefore A = \dfrac{1}{\sqrt{1} }-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2} }-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3} }-\dfrac{1}{\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{528} }-\dfrac{1}{\sqrt{529}}$

$A = 1-\frac{1}{23} = \frac{22}{23} $

32.

ก. จะพิสูจน์ว่า $a^2+ab+b^2>0$ ทุกจำนวนเต็ม a,b ที่แตกต่างกัน

ถ้า $ab\geqslant 0$ จะเห็นว่าจริง ถ้า $ab<0$ จะได้ว่า $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2>ab$

ดังนั้น $a^2+ab+b^2>0$

$\rightarrow (a+b)^2>ab$

$\rightarrow (a+b)^2(a-b)^2 > ab(a-b)^2$

$\rightarrow a^4-2a^2b^2+b^4 > a^3b-2a^2b^2+ab^3$

$\rightarrow a^4+b^4 > a^3b+ab^3$ ก.จริง

ข. แทน a,b,c=0 ไม่จริง

34. $N = 3(4+1)^{5^5}+(8-1)^{7^7}$

$= 3(4^{5^5}+5^5\cdot 4^{5^5-1}+...+\binom{5^5}{2} 4^2+5^5\cdot 4+1) + (8^{7^7}-7^7\cdot 8^{7^7-1}+...-\binom{7^7}{2}8^2+7^7\cdot 8-1) $

เศษจากการหาร N ด้วย 8 คือเศษจากการหาร $3(5^5\cdot 4+1) -1$ ด้วย 8 เท่ากับ 6

37. เพราะว่า $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ (พิสูจน์เอง) และ $641=25^2+4^2$

ดังนั้น $2^N+1=(25^2+4^2)(2556^2+409^2)=(25\times 2556+4\times 409)^2+(25\times 409-4\times 2556)=65536^2+1^2=2^{32}+1$

ซึ่งทำให้ $N=32$ ตอบข้อ 3 ครับ

ขอบคุณทั้ง 2 ท่านมากครับ :great::great: