พิสูจน์ หรือ ทำให้เห็นขั้นตอนหน่อยครับ
 

จงบอกลักษณะของพหุนาม p(x) กำลัง n ที่มีสมบัติในข้อต่อไปนี้

1. p(x) = p(-x)

2. p(x) = -p(-x)

:unsure::unsure::unsure::unsure::unsure::unsure:

สมมติ $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$

จะได้ $p(-x)=(-1)^na_nx^n+\cdots-a_1x+a_0$

ถ้า $p(x)=p(-x)$ ลองจับมาเทียบสัมประสิทธิ์ดูจะได้ว่า

$a_1=a_3=a_5=\cdots=0$

และ $a_n=(-1)^na_n$ จึงได้ $(-1)^n=1$ นั่นคือ $n$ เป็นจำนวนคู่

ดังนั้น $p(x)$ อยู่ในรูป

$p(x)=a_0+a_2x^2+\cdots+a_{2n}x^{2n}=\sum_{k=0}^n a_{2k}x^{2k}$