สมการไดโอแฟนไทน์
 

จงแสดงว่าสมการ
$\frac{1}{X^4}$-$\frac{1}{Y^4} $ =$\frac{1}{Z^4} $
ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก

ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก
$ x^4+y^4 = k^2 $

ทำได้หรือยัง ข้อนี้ไม่ยากครับ

ปล. ใช้ contradiction เขียน formal proof ก็ได้นะ

ไหนๆก็เข้ามาแล้ว ...

Lemma $x^2=y^4+z^4$ ไม่มี integers solution

ให้ $S$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $\frac{1}{x^4}-\frac{1}{y^4}=\frac{1}{z^4}$

ให้ $T$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $x^2=y^4+z^4$

จาก Lemma จะได้ว่า $T$ เป็นเซตว่าง

เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $S$ เป็นเซตว่างด้วย

สมมติให้ $S$ ไม่เป็นเซตว่าง ดังนั้นจะมี $(x_{0},y_{0},z_{0}) \in S$

ดังนั้นจะได้ว่า $\frac{1}{x_{0}^4}-\frac{1}{y_{0}^4}=\frac{1}{z_{0}^4}$

จัดรูปเป็น $(y_{0}^2z_{0}^2)^2=(z_{0}x_{0})^4+(x_{0}y_{0})^4$ ---(*)

ให้ $(a,b,c)=(y_{0}^2z_{0}^2,z_{0}x_{0},x_{0}y_{0})$

เพราะว่า $x_{0},y_{0},z_{0}$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มด้วย

และจาก (*) จะได้ว่า $a^2=b^4+c^4$ มี $(a,b,c)=(y_{0}^2z_{0}^2,z_{0}x_{0},x_{0}y_{0})$ เป็นคำตอบ

ดังนั้น $(a,b,c) \in T$ ขัดแย้งกับการที่ $T$ เป็นเซตว่าง ดังนั้น $S$ เป็นเซตว่าง ...QED...

ปล. Proof ของ Lemma google ได้นะครับ ใช้คำว่า infinite descent

ยาวจังครับ :eek::eek: