APMO 2005
 

จบไปสำหรับ APMO 2005 ปีนี้มีข้อสอบที่มาจากประเทศไทยหนึ่งข้อครับ

2. Let \( a,b,c \) be positive real numbers such that \( abc=8 \). Prove that
\[
\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}}+\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}}\geq\frac{4}{3}.
\]

คุณ aaaa ออกข้อนี้เองหรือเปล่าครับ ยากดีจัง เดี๋ยวทำ Take Home Midterm เสร็จแล้วมาคิดครับ อ้อแล้วทราบผลการสอบของเด็กไทยหรือยังครับ

ลองทำดูครับ
เนื่องจาก \( \sqrt{a^{3}+1} = \sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)} \leq \frac{(a^{2}-a+1)+(a+1)}{2} = \frac{a^{2}+2}{2} \)
\(\therefore \quad \text{ เราต้องพิสูจน์ว่า } \displaystyle
\frac{a^2}{(a^2 + 2)(b^2 + 2)} + \frac{b^2}{(b^2 + 2)(c^2 + 2)} + \frac{c^2}{(c^2 + 2)(a^2 + 2)} \geq \frac{1}{3}\)
\[
\begin{array}{rcl}
\displaystyle a^{2}(c^{2}+2)+b^{2}(a^{2}+2)+c^{2}(b^{2}+2) &\geq& \frac{1}{3}(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2) \\
6a^{2}+6b^{2}+6c^{2}+3a^{2}b^{2}+3b^{2}c^{2}+3c^{2}a^{2} &\geq& 8+4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}b^{2}c^{2} \\
&=& 4a^{2}+4b^{2}+4c^{2}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}+72 \\
2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} &\geq& 72 \\
\text{แต่ } 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2} &\geq& 24 \text{ และ } a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \geq 48 \text{ โดยอสมการ } AM-GM
\end{array}
\]
ดังนั้นจะได้ว่าอสมการเป็นจริงตามต้องการ

ทำเองเหรอครับ วิธีนี้เยี่ยมจริงๆ
ปล. ผมไม่ได้ออกข้อนี้หรอกครับ ได้ยินมานะว่าโจทย์ข้อนี้มาจากไทย :D

ท่าทางคุณ gools จะชำนาญเรื่องอสมการจังนะครับ :D

ข้อนี้ตอบคำถามโจทย์ IMO 2001/2 ครับ

2. Let \( a,b,c \) be positive real numbers. Prove that
\[
\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq1.
\]
โดยไม่เสียนัย์ทั่วไปสมมติว่า \( abc=1 \) ให้ \( x=2/a,y=2/b,z=2/c \) จะได้อสมการสมมูลกับ
\[
\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^3}}\geq1.
\]
โดย \( xyz=8\)

อยากรู้จังครับว่า จะเริ่มศึกษาพวกการพิสูจน์อสการจากไหน
ช่วยแนะนำหน่อยครับ ท่านสมาชิกอาวุโสทั้งหลาย

ขอเก็บวิธีของคุณ aaaa ไว้ศึกษาการแทนค่าด้วยตัวแปรในอสมการนะครับ เยี่ยมจริงๆ

ส่วนคำถามของคุณ Alberta ก็มีหนังสืออสมการของสสวท. ขายอยู่ครับ และก็มีหนังสือ "โลกอสมการ" ของ อ. ดำรงค์ ครับ หนามาก คาดว่าเดี๋ยวสอวน. ก็จะออกหนังสือคณิตศาสตร์เรื่องอสมการเช่นกัน

ถึงคุณ R-Tummykung de Lamar ผมทำโจทย์อสมการบางข้อเล่นทีเป็นวันๆเหมือนกันนะ :eek:

น้อง Gool นี่ความพยายามสูงจริงๆครับ พี่ก็เคยบ้าอ่านเรื่องอสมการของอาจารย์วิชาญไปสองเดือนเต็มๆ แต่คุ้มค่าครับที่ได้อ่าน

ขอบคุณมากครับ
เอ...แต่ถ้าในหนังสือของสสวท. มันจะเริ่มยากไปหรือเปล่าครับ(หมายถึงไม่มีของง่ายๆก่อนอะครับพอเป็นพื้นฐาน ;) )

ของสสวท. เขาเริ่มต้นสอนจากพื้นฐานเลยครับ ไม่ยากครับ(ยากแค่โจทย์เฉยๆ :D )
ถ้าเคยศึกษาเรื่องจำนวนจริง(ม.4)มาก่อนแล้วก็จะทำให้เข้าใจได้มากขึ้นครับ

ข้อสอบ APMO 2005 สามารถหาดูได้จากเวป http://www.kms.or.kr/competitions/apmo/
และเผอิญผมไปเจอเวปบอร์ดที่เขาพูดถึงโจทย์ข้อนี้ เลยเอามาฝากกันครับ http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=30952

ในที่สุดคุณ aaaa ก็ยอมเปิดเผยเทคนิคใหม่. :D ว่าง ๆ ผมจะลองศึกษาดูอีกทีครับ.

To young thai mathematicians,

DON NOT try copying other people solutions and invoking them as yours. That kind of learning mathematics is false and will destroy all yours. A huge step to learn mathematics is thinking by yourself, after that you will find the beauty of mathematics. If the solutions are not yours, please give credit to the proposers. Be honest!!!

Thank you,
Myth

Myth ตัวจริงของ Mathlink ไหมเนี่ย
:D
(ผมยังไม่กล้าไปเล่นบอร์ดที่นั่นครับ เพราะความรู้อาจจะยังไม่ถึง ..และก็กลัวสื่อสารกันไม่รู้เรื่องครับ แต่ก็จะแอบๆเปิดๆดู (ทั้งๆที่ไม่ค่อยรู้เรื่อง :D ))