[สอวน. สวนกุหลาบ 2557] ข้อสอบคัดตัวแทนศูนย์ เมษา ปี 2557 กทม
 

Attachment 16008
Attachment 16007
Attachment 16006
Attachment 16004
Attachment 16005

ปล.ผมไปแนบภาพที่อีกกระทู้นึงไปแล้ว พอมาทำกระทู้นี้มันเลยเป็นแบบนี้

มีคนบอกว่า เรขาข้อแรกยากมาก

ใครสนใจลองลุยดูได้ครับ

เรขา ข้อ 1

ใช้ Well known lemma ที่บอกว่า AB ตั้งฉากกับ CD ก็ต่อเมื่อ $ AC^2-AD^2 = BC^2 -BD^2$ (Easy to verify by Pythagoras)

จากนั้น เพื่อให้เส้นมันไม่อีรุงตุงนัง วาดรูปทีละครึ่งครับ โดยวาดเฉพาะฝั่ง M ก่อน

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก AMB จะได้ $ AM^2 = BM^2 - AB^2 $

และจาก ฺBO แบ่งครึ่งมุม B และ Law of cosine of สามเหลี่ยม CMB จะได้
$ CM^2 = MB^2 + BC^2 -2(MB)(BC)\cos \frac{B}{2} = MB^2 + BC^2 -2(MB)(BC)\Big (\frac{AB}{MB}\Big) = MB^2 + BC^2 -2(AB)(BC)$

Now $AM^2 - CM^2 = -(AB-BC)^2$

ในทำนองเดียวกันกับฝั่ง N จะได้ $ AN^2 - CN^2 = -(AD-DC)^2$

และเพราะสี่เหลี่ยม มีวงกลมแนบใน ดังนั้น ผลบวกด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน นั่นคือ $ AB-BC = AD-DC$

สรุปว่า $ AM^2 - CM^2 = AN^2 -CN^2 \Rightarrow MN \bot AC $

ข้อ 2. Algebra
(ทำตาม Hint ของพี่Polsk)

สังเกตว่า ข้างซ้ายของสมการ (ก) คงที่เสมอ

ดังนั้น $ P(y)-y=P(0)-0=P(0)$ หรือ $P(y)=y+c$

แทน $y=x$ ในสมการ (ก) จะได้

$Q(x)=P(x)+x$

แทนค่ากลับไปในสมการ (ข)

จะได้ว่า $(x+c)(2x+c) \geq x+1$

จัดรูปจะได้

$2(x+\dfrac{3c-1}{4})^2+(c^2-1-\dfrac{(3c-1)^2}{8}) \geq 0$

$\therefore c=3$ เท่านั้น