ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริงลบ และ $a^{20} + 2a - 3 = 0$ แล้ว $1 + a + a^2 + a^3 + ...+ a^{19}$
เท่ากับเท่าใด

รู้สึกว่าจะเป็นโจทย์ A-net ปีก่อนๆนะคับ

ช่วยบอกวิธีคิด หรือถ้าเป็นวิธีทำจะดีมากคับ

ขอบคุณล่วงหน้าคับ

อ่อ อีกข้อนึงนะครับ

$$\sum_{k=1}^{50}(1+(-1)^k)k$$

แนวคิด
1. ผลรวมทางขวามือเขียนในเทอมของ $a$ ได้อย่างไร สามารถจัดสมการที่โจทย์ให้ให้อยู่ในเทอมของผลรวมที่ได้อย่างไร
2. ลองเขียนตัวบวกสักสี่ห้าตัวแรกครับ แล้วจะเห็นภาพว่าจะต้องรวมอะไร

ข้อ2.ผมคิดได้1300ครับ
ผิดถูกชี้แนะด้วย

ข้อ1ตอบ-2 ข้อ2ตอบ1300 มาจาก 4+8+12+.......+100

ข้อ 1 $1 + a + a^2 + a^3 + ...+ a^{19}=\frac{(1 + a + a^2 + a^3 + ...+ a^{19})(a-1)}{(a-1)}=\frac{a^{20}-1}{a-1}$และ
$a^{20} + 2a - 3 = 0$
$a^{20}-1=2(1-a)$
ดังนั้น$1 + a + a^2 + a^3 + ...+ a^{19}=\frac{a^{20}-1}{a-1}=\frac{2(1-a)}{(a-1)}=-2 $

ขอบคุณทุกท่านมากครับ

^^

งงอ่ะคับ ทำไม?
$1 + a + a^2 + a^3 + ...+ a^{19}=\frac{(1 + a + a^2 + a^3 + ...+ a^{19})(a-1)}{(a-1)}
ทำไมต้องคูณ (a-1) ครับ :aah::aah::please::please:

มาจากการจัดรูป เพื่อเข้าสูตรผลต่างกำลัง $n$
$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\ldots +xy^{n-2}+y^{n-1})$
$\therefore a^{20}-1=(a-1)(a^{19}+a^{18}+\ldots +a+1)$
$\frac{a^{20}-1}{a-1}=\frac{(a-1)(1+a+a^2+\ldots +a^{19})}{a-1}$


หรือ
$\because 1 + a + a^2 + a^3 + ...+ a^{19}$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี $a_1=1, r=a$
$\because a_n=a_1 r^{n-1}$ จากนั้นแทนค่า $a_1$ และ $r$
$\therefore a^{19}=a^{n-1}$$\Rightarrow n=20$

จากสูตร $S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^n)}{1-r}$
$S_{20}=\frac{1-a^{20}}{1-a}$=$\frac{a^{20}-1}{a-1}$

[quote=issac;176100]มาจากการจัดรูป เพื่อเข้าสูตรผลต่างกำลัง $n$
$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\ldots +xy^{n-2}+y^{n-1})$
$\therefore a^{20}-1=(a-1)(a^{19}+a^{18}+\ldots +a+1)$
$\frac{a^{20}-1}{a-1}=\frac{(a-1)(1+a+a^2+\ldots +a^{19})}{a-1}$


หรือ
$\because 1 + a + a^2 + a^3 + ...+ a^{19}$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี $a_1=1, r=a$
$\because a_n=a_1 r^{n-1}$ จากนั้นแทนค่า $a_1$ และ $r$
$\therefore a^{19}=a^{n-1}$$\Rightarrow n=20$

จากสูตร $S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^n)}{1-r}$
$S_{20}=\frac{1-a^{20}}{1-a}$=$\frac{a^{20}-1}{a-1}$[/QUO

ขอบคุณครับ

แล้วเราสามารถคิดแบบนี้ได้ไหมคับ ถ้าไม่ได้ช่วยบอกผมทีมันผิดตรงไหนขอบคุณล่วงหน้าคับ

แยกตัวประกอบยังไงได้แบบนั้นครับ

โจทย์คือ $a^{20}+2a-3=0$ (สมการ 1)

แต่ $(a^{10}+3)(a^{10}-1) = 0$
คือ $a^{20}+2a^{10}-3=0$ (สมการ 2)

$\because a\in \mathbb{R} ^{-}\Rightarrow $ สมการ 1 $\not=$ สมการ 2

กระทู่เก่า 6 ปี :)

ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริงลบ และ $a^{20} + 2a - 3 = 0$ แล้ว $1 + a + a^2 + a^3 + ...+ a^{19}$
เท่ากับเท่าใด



ข้อนี้ไม่ต้องคิดมาก $1 + a + a^2 + a^3 + ...+ a^{19}$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต 20 พจน์ มีพจน์แรกเป็น 1 อัตราส่วนร่วม a ซึ่งเท่ากับ $\frac{a^{20}-1}{a-1}$

และโจทย์ให้ $a^{20} + 2a - 3 = 0$ จะได้ว่า $a^{20} - 1= -2a+2 \Rightarrow -2(a-1)$ นำไปแทนค่าในอนุกรม ตอบ -2 :)

งั้นลองเปลี่ยนโจทย์กันดีกว่า :)
ข้อนี้ก็น่าสนใจครับ
ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $a^{20}+2a-3=0$ แล้ว $1+a+a^2+a^3+\cdots+a^{19}$ เท่ากับเท่าใดบ้าง
จงแสดงวิธีหาคำตอบทั้งหมด

$\because a\in \mathbb{R} ^+$ และ $a^{20}+2a-3=0$

$\Rightarrow a^{20}-1+2a-2=0$

$\Rightarrow (a-1)(1+a+a^2+\ldots+a^{19})+2(a-1)=0$

$\Rightarrow (a-1)(3+a+a^2+\ldots+a^{19})=0$

$\Rightarrow a=1$ $(\because a\in \mathbb{R} ^+ \Rightarrow 3+a+a^2+\ldots+a^{19}\not= 0)$

$\therefore 1+a+a^2+a^3+\ldots +a^{19}=\overbrace{1+1+1+\ldots+1}^{20} =20$

ถูกแล้วครับ สงสัยง่ายไปหน่อยครับ แต่ก็สวยดี