ลองคิดดูนะครับ
ให้ $a\ge 1$ และ $x\in\mathbb{R}$ ผลบวกคำตอบของสมการ $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ มีค่าเท่าใด
|
อ้างอิง:
$\sqrt{a-\sqrt{a+x}}= x$ $a-\sqrt{a+x}= x^2$ $a-x^2 = \sqrt{a+x}$ $a+x-x^2 = \sqrt{a+x}+x$ $(\sqrt{a+x}+x)(\sqrt{a+x}-x) = \sqrt{a+x}+x$ $(\sqrt{a+x}+x)(\sqrt{a+x}-x-1) = 0$ จากเงื่อนไขโจทย์จะพบว่า $(\sqrt{a+x}+x) > 0$ เพราะฉะนั้น $\sqrt{a+x}-x-1 = 0$ $\sqrt{a+x} =x+1$ $x^2+x+1-a =0$ $ x = \frac{-1\pm \sqrt{4a-3}}{2}$ แต่ค่าที่ใช้ได้คือ $ x = \frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}$ |
โจทย์เป็นข้อสอบสมาคมปีโบร๊าณโบราณด้วย ครับ สังเกตว่า $x\geq 0$ แหงๆครับ เพราะเท่ากับรูท ซึ่งผลบวกของรากไม่น่าจะเท่ากับ $-1$ ได้
ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ว่า $a-\sqrt{a+x} = x^2$ บวกทั้งสองข้างด้วย $x+1/4$ จะได้ว่า \[ \left(\sqrt{a+x}-\frac{1}{2}\right)^2 = \left( x+\frac{1}{2}\right)^2\] คิดคำตอบมาแล้วตรวจสอบจะพบว่า $x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}$ เป็นคำตอบเดียวที่ใช้ได้ |
อ้างอิง:
|
โจทย์ข้อนี้เป็นข้อสอบคัดเลือกโอลิมปิก สสวท ปี 2547 รอบที่ 1 ตอนที่2 ข้อที่ 3 ผม ref. จากนี้ครับ
http://www.mathcenter.net/olympiad/2548/2548p02.shtml |
อ่อครับ 555 จำได้ว่าเคยทำตอนเป็นข้อสอบสมาคม
|
ควรทราบ : โจทย์ข้อนี้เป็นข้อสอบของทั้งของสมาคมคณิตศาสตร์(ปี2531)และข้อสอบคัดโอลิมปิก(ปี2547)ทั้งคู่เลยครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:57 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha