Mathcenter Forum - ส่วนหนึ่งเเบบฝึกหัด ใน ค่าย มก.

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)

- ข้อสอบโอลิมปิก (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=28)

- - ส่วนหนึ่งเเบบฝึกหัด ใน ค่าย มก. (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=4179)

ส่วนหนึ่งเเบบฝึกหัด ใน ค่าย มก.

เอา ข้อ ที่ผม ยังทำไม่ได้ในบางข้อ อย่างข้อ เเรก เป็นต้นครับ
เริ่มที่ number ก่อนครับ ถ้าว่างจะสเเกนมาให้ ผมว่าคงไม่ยากสำหรับ เซียนในเว็บนี้ครับ

2.(วิธีถึก)
$2552\leq\sqrt{n}+\frac{1}{2}<2553$
$\frac{26040609}{4}\leq\ n<\frac{26061025}{4}$
แต่จาก n เป็นจำนวนเต็ม
$\therefore 6510153\leq\ n<6545256$
$6510152.25\leq\ n-\frac{3}{4}\ <6545255.25$
$2551.5\leq\sqrt{n-\frac{3}{4}}\ <2552.4998...$
$2552\leq\sqrt{n-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}<2552.9998...<2553$
$\left\lceil\sqrt{n-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}\right\rceil =2552$

3.
สังเกตว่าทางซ้ายมี 73 พจน์ เนื่องจากผลบวกแต่ละตัวเป็นจำนวนเต็มและ $\left\lceil\ r+0.19\right\rceil=\left\lceil\ r+0.91\right\rceil$ หรือ $\left\lceil\ r+0.19\right\rceil=\left\lceil\ r+0.91\right\rceil+1$ และผลบวกของทั้ง 73 พจน์เท่ากับ 746 ดังนั้นจะได้ว่า
$\therefore\left\lceil\ r+0.19\right\rceil=\left\lceil\ r+0.20\right\rceil=...=\left\lceil\ r+0.56\right\rceil=7$ และ $\left\lceil\ r+0.57\right\rceil=\left\lceil\ r+0.58\right\rceil=...=\left\lceil\ r+0.91\right\rceil=8$
จาก $\left\lceil\ r+0.56\right\rceil=7$ ได้ว่า $6.44\leq\ r<7.44$
จาก $\left\lceil\ r+0.57\right\rceil=8$ ได้ว่า $7.43\leq\ r<8.43$
ดังนั้นได้ว่า $7.43\leq\ r<7.44$
$\therefore 743\leq 100r<744$ นั่นคือ $\left\lceil\ 100r\right\rceil=743$

สำหรับ ข้อ 2 ผมเดาว่าน่าจะมี วิธีเดียว เเหละครับ ผมลองหาวิธี อื่น ยังไม่เจอ ถ้า เจอ ก็บอกด้วยครับ

floor function ทั้งนั้นเลยหรอครับ

ข้อ3 ผมใช้hermit ได้เป็น 546+19*7+8*8=743

ผมสงสัยว่าข้อ2 นี่ กรณี ทั่วไป ให้เป็น k จะได้เหมือนกันป่าวครับ

2. สมมติ $n$ เป็นจำนวนนับ และ $\left[\,\sqrt{n}+\dfrac{1}{2}\right]= k $ จะได้

$k\leq \sqrt{n}+\dfrac{1}{2}<k+1$

$k-\dfrac{1}{2}\leq\sqrt{n}<k+\dfrac{1}{2}$

$k^2-k+\dfrac{1}{4}\leq n< k^2+k+\dfrac{1}{4}$

$k^2-k+1\leq n < k^2+k+\dfrac{1}{4}$ (เำพราะว่า $n$ เป็นจำนวนเต็ม)

$k^2-k+\dfrac{1}{4}\leq n-\dfrac{3}{4} < k^2+k-\dfrac{1}{2}<k^2+k+\dfrac{1}{4}$

$k-\dfrac{1}{2}\leq\sqrt{n-\dfrac{3}{4}}<k+\dfrac{1}{2}$

$k\leq \sqrt{n-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{1}{2}<k+1$

$\left[\,\sqrt{n-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{1}{2}\right]=k $

4. มาจากโจทย์โอลิมปิกรัสเซียครับ
$$\Big[\frac{p}{q}\Big]+\Big[\frac{2p}{q}\Big]+\Big[\frac{3p}{q}\Big]\cdots+\Big[\frac{(q-1)p}{q}\Big]=\frac{(p-1)(q-1)}{2}$$
เมื่อ $(p,q)=1$

เเล้วข้อ 1 คิดยังไงครับ

อืม..ขอลองทำข้อ$1$ดู ไม่รู้ทำแบบนี้ได้รึป่าวนะครับ ยังไงช่วยตรวจด้วยครับพ้ม
ผมจะบังคับให้มันเป็นจำนวนเต็ม
$\frac{n^3+1}{mn-1} = \frac{(n^3-1)+2}{mn-1} = \frac{(n-1)(n^2+n+1)}{mn-1}+\frac{2}{mn-1}$
$\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{mn-1}+\frac{2}{mn-1}$ ตรงนี้จะเป็นจำนวนเต็มได้ m,n ต้องเป้น 1,2 และ 1,3
ผมเลยตอบ $(1,2),(1,3)$

ผมว่าไม่ได้นะครับ เพราะเป็นไปได้ที่ $\frac{2}{mn-1}$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม แต่เมื่อบวกกับ $\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{mn-1}$ แล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม

อ่อ คงอย่างที่คุณ Mathophile ว่าจริงๆด้วย กรณี (2,2) โฮ๊ะๆ ปล่อยไก่ซะแล้วผม ขอบคุณครับที่ท้วง อิๆ

ข้อ 1 ครับ คิดว่าน่าจะถูก (หลังจากผ่านการมึนมาหลายรอบ :tired: )

อ้างอิง:

1. จงหาคู่อันดับ $(m,n)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ของจำนวนเต็มบวก m,n ซึ่งทำให้ $\frac{n^3+1}{mn-1}$ เป็นจำนวนเต็ม

วิธีทำ

เมื่อ $\frac{n^3+1}{mn-1}$ เป็นจำนวนเต็ม ย่อมได้ว่า $$\frac{m^3(n^3+1)}{mn-1} = \frac{(mn)^3+m^3-1+1}{mn-1} = \frac{(mn)^3-1+m^3+1}{mn-1}=(mn)^2+mn+1+\frac{m^3+1}{mn-1}$$ เป็นจำนวนเต็มด้วย ฉะนั้น $\frac{m^3+1}{mn-1}$ ก็เป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน
ดังนั้น จึงเพียงพอที่จะพิจารณากรณี $m\geq n$

พิจารณา $\frac{n^3+1}{mn-1}+1=\frac{n^3+mn}{mn-1}=\frac{n(n^2+m)}{mn-1}$ เป็นจำนวนเต็ม
แต่ $\gcd (n,mn-1)=1$ ฉะนั้น $\frac{n^2+m}{mn-1}$ เป็นจำนวนเต็ม

ให้ $m=n+a$ เมื่อ $a\in N \cup \{0\}$ (จาก $m\geq n$)
จะได้ $\frac{n^2+m}{mn-1}=\frac{n^2+n+a}{n^2+an-1}=k$ เมื่อ $k\in N$
จัดรูป จะได้ว่า $(n+1)[n-k(n-1)]=a(kn-1)$
จะพบว่า $n+1,a,kn-1$ มีค่าไม่เป็นลบทุกพจน์
ฉะนั้น $$n-k(n-1) \geq 0 \Leftrightarrow (k-1)(n-1)\leq 1 \Leftrightarrow (k-1)(n-1)=0,1$$
คิดว่า น่าจะไปต่อได้แล้วนะครับ

Solution

คำตอบทั้งหมดคือ $(m,n)$ และ $(n,m)$ เมื่อ $(m,n)=(1,2),(1,3),(2,2),(2,5),(3,5)$

ปล. ปีนี้โจทย์ในค่าย มก. โหดขึ้นกว่าปีที่แล้วเยอะเลยนะครับเนี่ย :eek:

ไม่คิดเลยครับ ว่าจะให้ m=n+a
5 คำตอบถูกเเล้วครับ เพราะตอนนั้น อาจารย์เขาปล่อยมาเสร็จเเล้ว ผมก็ตอบ เลข 5 คู่อันดับไปเเล้ว อาจารย์ ก็บอกว่า
ถูกเเล้ว เเต่ผมเเสดงยังไม่ได้ครับ