ช่วยหน่อยครับ
 

ถ้า $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $xyz=1$ จงหาจำนวนจริงที่มีค่ามากที่สุด ซึ่งมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ
$\displaystyle{\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}}$

ตอบ $2$ ครับ

ยังคิดวิธีง่ายๆไม่ออก เอาแบบยากๆไปก่อนแล้วกันนะครับ:D

จะพิสูจน์ว่า

$$\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}\geq 2$$

ให้ $a=\sqrt{x},b=\sqrt{y},c=\sqrt{z}$ จะได้ $abc=1$ และ อสมการสมมูลกับ

$$a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 2(a+b+c)$$

ให้ $p=a+b+c,q=ab+bc+ca$

จะได้

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=p^2-2q$

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=q^2-2p$

ดังนั้น

$a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(a^2+b^2+c^2)^2-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(p^2-2q)^2-(q^2-2p)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=p^4-4p^2q+3q^2+2p$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(p^2-q)(p^2-3q)+2p$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq 2p$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2(a+b+c)$

Note : $(p^2-q)(p^2-3q)\geq 0$ เพราะ $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$

Am-Gm ; $x^2+yz \ge 2\sqrt{x^2yz} = 2\sqrt{x}$
$\therefore x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \ge 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$
$\longrightarrow \frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}\geq 2$

เอ่อ...เห็นเฉลยของน้อง dektep แล้วอยากเอาหัวโขกประตูให้เลือดอา่บจริงๆครับ :blood:

555+ ใจเย็นเย็นครับ พี่ nooonuii :laugh: