ถามโจทย์ Abstract Algebra ครับ (ภาษาอังกฤษ)
 

Question :
Let $\varnothing: (Z_{4},+) \rightarrow (Z_{8},+)$ be a homomorphism such that $\varnothing(1) = 6$. Find $\varnothing(3)$. Is $\varnothing$ one-to-one?

Solution :
First, it's worth noting that we know the image of every $n$ in $Z_{4}$ since we're told what $\varnothing$ does to $1$.
Once we know what a homomorphism of a cyclic group does to a generator of the group, we know what it does to every element in the group.
In this case, $\varnothing(3)=\varnothing(3\bullet 1)=\varnothing(1)=3\bullet6=2$.

Now, by definition, $ker\varnothing=\{n\in Z_{4}:\varnothing(n)=0\}$
Since $\varnothing(n)=6n$, $ker\varnothing$ consists of those elements $n$ in $Z_{4}$ such that $6n$ is a multiple of $8$. Only $n=0$ sastisfies this, so $ket\varnothing$ is trivial, which implies that $\varnothing$ is one-to-one


แล้วก็งง...
ตรงที่ผม Highlight สีแดงไว้อะครับ คือ $\varnothing(3)=\varnothing(3\bullet1)$ (อันนี้เข้าใจว่า เอา 3 คูณ1) แต่อยู่ดีๆก็บอกต่อว่าเป็น $\varnothing(3\bullet1)=\varnothing(1)$ แล้วก็กลายเป็น $3\bullet6=2$ ก็ยิ่งงงเข้าไปใหญ่ :cry:

จากที่ผมอ่านโจทย์ก็เข้าใจว่า
$Z_{4} = \{0,1,2,3\}$
$Z_{8} = \{0,1,2,3,4,5,6,7\}$
อันนี้เข้าใจถูกรึเปล่าครับ:confused:

พอดีเพิ่งเริ่มอ่านเรื่อง Abstract Algebra (ไม่เคยเรียนมาก่อนเลย) ขอผู้รู้ช่วยหน่อย ขอบคุณครับ :sweat:

แล้วที่งงอีกก็คืออย่าง $(Z_{4},+)$ นี่ถือ เป็น Cyclic เหรอครับ เพราะจากตารางก็เป็น
+ | 0 1 2 3
------------
0 | 0 1 2 3
1 | 1 2 3 4
2 | 2 3 4 5
3 | 3 4 5 6

ใช้ Latex ทำตารางไม่ได้ไม่รู้ทำยังไง :(

เป็น typo ครับ ควรเป็น

$\phi(3)=\phi(3\cdot 1)=3\phi(1)$

$\mathbb{Z}_n$ เป็น group ของเศษจากการหารจำนวนเต็มด้วย $n$ ครับ

อย่างเช่น $3\cdot 6=18$ แต่ถ้ามองใน $\mathbb{Z}_8$ เราต้องเอา $8$ ไปหารแล้วเลือกเฉพาะเศษก็จะได้ $2$

$(\mathbb{Z}_n,+)$ เป็น cyclic group ครับ

อ่อ typo นี่เองขอบคุณครับ งง ตั้งนาน:cry:

แล้วอยู่ดีๆเราจะบอกว่า $\phi(3)=3\phi(1)$ ได้เลยเหรอครับ

หรือเพราะว่า Group ที่โจทย์ให้มาเป็น group homomorphisms ที่เป็น additive group of integers modulo $n$ เลยสามารถ เอา 3 ไปคูณกับ $\phi(1)$ ได้เลย -- คือมันเป็นคุณสมบัติเฉพาะอะไรรึเปล่าครับ

ใช่ครับ ใช้ความเป็น homomorphism กระจายออกมา

$\phi(3)=\phi(1+1+1)=\phi(1)+\phi(1)+\phi(1)$

อ๋อออออออ ชัดเลยครับ เห็นแ้ล้วเข้าใจเลย ขอบคุณครับ :)

โจทย์ลักษณะพิสูจน์ ทำให้ผมคิดว่าคนที่ตอบถูกคือคนที่คิดเหมือนคนออกข้อสอบ แบบว่าเหมือนมากคะแนนที่ได้ก็จะมาก เรียกว่าตอบด้วยความรู้ ไม่ใช่การพยายามเดา ซึ่งแม้มีเหตุผลของตนเอง แต่หากผู้ตรวจ(อาจจะไม่ใช่อาจารย์ที่สอน)ไม่คิดว่ามีเหตุผลพอก็ผิดหรือได้คะแนนน้อย นัยว่าต้องเห้นพ้อง

คนที่พยายามคิดใหม่ หาเหตุผลใหม่ๆ อยู่เสมอ ก็คงลำบากใจ หากต้องเข้าใจตรงกับคนอื่นแม้จะเป็นอาจารย์ที่สอน ยิ่งระดับมหาลัยแล้ว การตรวจคำตอบโจทย์ยิ่งดูยาก ว่าคำว่ารู้เรื่องกับรู้แบบขัดแย้งเต็มเหนี่ยว ต่างกันอย่างไร เพราะบางทีเด็กๆ ไม่รู้ว่าจะแสดงออกอย่างไร ( อาจารย์มักจะถามว่า ข้อสอบไม่ชัดเหรอ มากกว่ายอรับว่าข้อสอบออกงี้เง่า )

abstract เป็นเรื่องที่ต้องฝึกฝน สมองมีส่วนที่ทำให้เรียนรู้ได้ไวขึ้น

(เหมือนเด็กอายุ 13 ได้เหรียญเงินโอลิมปิก)

ถ้าจะพิสูจน์ให้ถูกยังไงต้องเขียนให้ได้เหมือน Pattern จะคิดเองคงยาก

แต่คนที่มีหัวทางนี้ก็อาจจะคิดได้ และไม่ต้อง Pattern ก็ได้มั้ง (ไม่รู้เพราะไม่ใช่คนเก่ง)

ส่วนอาจารย์ที่สอนมหาวิทยาลัย ท่านระดับสุดยอด ต่อให้เขียนพิสดารยังไง ท่านดูออกแน่นอน

อาจารย์ให้คะแนนเที่ยงตรงแม่นยำ ไม่ผิดพลาดแน่นอน

หลังจากนี้ผมจะหาเวลาไปศึกษา Abstract เองใหม่ครับ เริ่มลืมๆ แล้วล่ะ

และที่สำคัญยังโง่เรื่องนี้มากๆ คงต้องไปนับหนึ่งใหม่ที่ห้องสมุด

เป็นความเห็นที่ผมได้มาจากประสบการณ์ ซึ่งอาจจะผิดก็ได้ครับ ผมไม่ได้ด่วนตัดสินนะ

มันเป็นเพียงความเห็นของผมครับ

เหอๆ การพิสูจน์คือการให้เหตุผลครับเเต่ไม่ได้หมายความว่าอยากให้อะไรก็ให้นะครับการให้เหตุผลจะต้องสอดคล้องกับสัจพจน์ของเรื่องนั้นๆที่เรา ศึกษาด้วยต้องศึกษาให้ดีก่อน นะครับ
เหอๆ ห่างหายไปนานมาทบทวน abstract algebra ด้วยกันนะครับคุณครูนะ

เกี่ยวกับวิชานี้ abstract algebra ผมไม่ทราบว่ามีกี่เวอร์ชั่น อาจแบ่งได้ตามสายงานระดับมหาลัย บางมหาลัยมีสิบกว่าคณะ คงมีความเห็นต่างๆกัน จุฬาลงกรณ์นี่ผมไม่แน่ใจว่าครบไหม ในห้องสมุดภาควิชาคณิตศาสตร์ ผมเคยแวะเข้าไป มองว่าคนๆ เดียวหากให้หาอ่านเอง หลายสิบปีแน่ แต่ก็มีวิธีอื่นที่จะทำให้เข้าใจ แต่ความเชื่อมั่นในตนเอง ทำให้ผมยอมรับการห้ามรวมกลุ่ม

ในวิกิว่า abstract algebra มีรากฐานมาจากคณิตศาสตร์อาหรับ ผมเองไม่คุ้นเคย ก็ไม่ทราบถึงความลึกตื้นหนาบาง ของวิชานี้อย่างฟันธง หากจะคิดเอง ชาวตะวันตกก็คงไม่ชอบใจนัก ที่เราไปยุ่งกับสิ่งที่เค้าได้บัญญัติไว้ ยกคำอ้างของอาจารย์ท่านหนึ่งมากล่าว อีกท่านก็ว่ามั่ว งง จริงๆ สังคมนี้

เพิ่งจะสอบวิชานี้เสร็จมาเมื่อวานคับ ยอมรับว่าถ้ามัวแต่ท่อง Pattern ไม่ลองหาไอเดีย approach ใหม่ๆ
ก็จะพิสูจน์ของหลายๆ อย่างได้ยากคับ แล้วก็ถ้าแน่ใจว่าวิธีของตนเองถูกหลัก logic ไม่ได้มั่วก้อนอะไรขึ้นมา
แล้วทำให้ทั้งสมการพัง ด้นไปเรื่อยๆ จนถึงปลายทาง ต่อให้เป็นคนละวิธี อาจารย์ก็คงยอมรับเหมือนกันคับ
(แต่อาจจะเหนื่อยกว่าละนะ)

อันนี้งงจริงๆ คับ รบกวนอธิบายนิดนึงนะคับ

อ้อ ถ้าเรากล่าวโดยไม่ใช่สัจพจน์ เป็นความเห็นตามประสบการณ์จะไม่ถือว่าถูกได้คะแนนเวลาสอบ ยกเว้น ที่จุฬาลงกรณ์อาจจะได้คะแนนบ้างเพราะมีคนรู้เรื่อง อาจเพราะคณิตศาสตร์ไม่อยู่ในรูปแบบที่เข้าได้ง่าย

ง่ายนะ ตอนผมเริ่มศึกษาดูตำราด้านนี้ยังไม่รู้เรื่องเท่าไหร่ อาจารย์ก็ให้แต่งเอง อาจจะเริ่มจากที่เค้าเริ่มไว้ให้ง่ายๆ เช่น เอาเส้นตรงมาคำนวน + ลบ * หาร