ข้อสอบพีชคณิต สอวน มีนาคม 2550 ข้อ 3
 

จงหาค่าของ $a_0-\frac{a_1}{2}-\frac{a_2}{2}+a_3-\frac{a_4}{2}-\frac{a_5}{2}+a_6-...$
เมื่อ
$$ (x^{2549}+x^{2548}+2)^{2550}=a_0+a_1x+a_2x^2+...$$

ช่วยหน่อยครับผมทำไม่ได้จริงๆครับ

ให้ $P(x) = (x^{2549} + x^{2548} + 2)^{2550}$

จะได้ $a_0-\frac{a_1}{2}-\frac{a_2}{2}+a_3-\frac{a_4}{2}-\frac{a_5}{2}+a_6-...$

$=\frac{1}{3} [P(1)+P(w)+P(w^2)] - \frac{1}{6}[P(1)+wP(w)+w^2P(w^2)] - \frac{1}{6}[P(1)+w^2P(w)+w^4P(w^2)]$

$=0+(\frac{1}{3}-\frac{w}{6}-\frac{w^2}{6})+(\frac{1}{3}-\frac{w^2}{6}-\frac{w}{6}) = 1$

$\omega $ นี่เป็นรากที่เท่าไหร่ของ 1 หรอครับ

สังเกตว่าสิ่งที่โจทย์มีคาบเท่ากับ 3 ดังนั้น $w$ ในที่นี้คือ รากที่สามของ 1

$w^3 = 1, 1+w+w^2=0$

จะว่าไปแล้วโจทย์ทำนองนี้ก็นิยมตั้งปัญหาแต่รากที่สามเท่านั้นครับ เพราะถ้ามากกว่านี้เช่นรากที่ 5 ก็คงจะเขียนเหนื่อยเกินไปนัก

อ๋อๆๆๆ เข้าใจแ้ล้วครับ ขอบคุณมากๆเลยครับ

ตรงที่สีแดง พวกพี่ๆช่วยอธิบายให้ละเอียดอีกนิดนึงได้ไหมคับ ตามไม่ทัน จิงๆ:cry:

ที่ผมเข้าใจเป็นแบบนี้นะครับ

$P(1)=a_0+a_1+a_2+a_3+...$
$P(\omega )=a_0+a_1\omega +a_2\omega ^2+a_3+...$
$P(\omega^2)=a_0+a_1\omega ^2+a_2\omega+a_3+...$

$P(1)+P(\omega )+P(\omega ^2)=a_0+a_3+a_6+...$
-------------------------------------------------------------------------------------------
$\omega P(\omega )=a_0\omega +a_1\omega ^2+a_2+a_3\omega+...$
$\omega^2 P(\omega ^2)=a_0\omega ^2+a_1\omega+a_2+a_3\omega ^2$

$P(1)+\omega P(\omega)+\omega^2p(\omega ^2)=a_2+a_5+a_8+...$
-------------------------------------------------------------------------------------------
$\omega ^2P(\omega)=a_0\omega ^2+a_1+a_2\omega+a_3\omega^2+...$
$\omega P(\omega^2)=a_0\omega +a_1+a_2\omega ^2+a_3\omega $

$P(1)+\omega^2 P(\omega )+\omega P(\omega ^2)= a_1+a_4+a_7+...$
----------------------------------------------------------------------------------------
จากสมการด้านบน
$\frac{1}{3} [P(1)+P(w)+P(w^2)] - \frac{1}{6}[P(1)+wP(w)+w^2P(w^2)] - \frac{1}{6}[P(1)+w^2P(w)+w^4P(w^2)]=a_0-\frac{a_1}{2}-\frac{a_2}{2}+a_3-\frac{a_4}{2}-\frac{a_5}{2}+a_6-...$

จากการแทนค่าใน $P(x)$
$\frac{1}{3} [P(1)+P(w)+P(w^2)] - \frac{1}{6}[P(1)+wP(w)+w^2P(w^2)] - \frac{1}{6}[P(1)+w^2P(w)+w^4P(w^2)]=\frac{2(4^{2550})+2+2-4^{2550}-\omega-\omega^2-4^{2550}-\omega^2-\omega}{6}=1$

โห สุดยอดคับ คารวะ พี่gon 1จอกเลย ทั้งพี่gon พี่Light lucifer สุดสวยจิงๆข้อนี้

บังเอิญเปิดมาเจอ (กำลังนั่งหาโจทย์ AL รอบมีนาอยู่)

ผมมีวิธีที่สั้นกว่าด้านบนครับ

โจทย์แนวนี้ หากเจอสดๆ ในห้องสอบแล้วเดี้ยงแน่ ผมเคยมาก่อนรู้สึกว่าแนวนี้แหละ ปัจจุบันเน้นคำนวนวิเคราะห์มากกว่าออกแบบระบบ เช่น เกมส์คณิตศาสตร์ แถมเวลาเอาคณิตศาสตร์ไปใช้จริงซับซ้อนมากๆ ไม่ค่อยมีคนไทยได้ทำขนาดนั้น ส่วนมากเอาซ็อฟแวร์เค้ามาใช้เลยมากว่า แพงก็สู้แบบว่าทุนมหาลัยซื้อเอาคงงั้นครับ