ช่วยแสดงวิธีพิสูจน์สูตรพท.ผิวทรงกลมให้ทีค่ะ
 

ช่วยแสดงวิธีพิสูจน์สูตรพท.ผิวทรงกลมให้ทีค่ะโดยใช้วิธีcalค่ะ

รัศมีaหน่วยค่ะ

ต้องการทราบด่วนมาก

ขอบคุณไว้ที่นี่ค่ะ

ไม่ทราบว่าเป็นแคลคูลัสระดับไหนครับ

เพราะมีวิธีคิดอยู่หลายวิธีขึ้นอยู่กับระดับของแคลคูลัสที่ใช้ครับ

แต่ผมทำแบบง่ายสุดก่อนละกัน คิดว่าอยู่ในแคล 1 นะครับ

จะคำนวณโดยใช้วิธี Surface of Revolution

ขออ้างสูตรจากลิงค์ข้างบนนะครับ

ให้ $f:[-a,a]\to\mathbb{R}$ นิยามโดย $f(x)=\sqrt{a^2-x^2}$

กราฟของ $f$ จะเป็นรูปครึ่งวงกลมรัศมี $a$ ครับ

ซึ่งถ้าเรานำครึ่งวงกลมรัศมี $a$ มาหมุนรอบแกน $x$ เราจะได้ทรงกลมรัศมี $a$

$r(x)$ ในสูตรจะเป็นระยะทางจากแกนหมุนไปยังกราฟของ $f$ ซึ่งจะมีค่าเท่ากับ $f(x)$ นั่นเอง

ดังนั้น

$\displaystyle{A=2\pi\int_{-a}^ar(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}$

$\displaystyle{~~=2\pi\int_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2}\sqrt{1+\dfrac{x^2}{a^2-x^2}}\,dx}$

$\displaystyle{~~=2\pi\int_{-a}^a a\,dx}$

$~~=4\pi a^2$

ระดับแคล3ค่ะ

ใช้ดับเบิ้ลอินทิเกรตพิสูจน์ค่ะ

แค่นี้ทำไม่เป็นรึไงคับ

ถ้าทำเป็นคงไม่ถามหรอกค่ะคุณ

ถ้าคุณทำเป็นทำไมไม่ตอบให้ล่ะค่ะ

คุณ naruto แกเพื่งอายุ 13 เองจะทำได้ไงคับผมว่าแกคงโม้ไปงั้นเห็นช่วงนี้แกก่อกวนเว็บมากเหลือเกิน

$Surface~Area = 2\int \int_{R}^{}\ \sqrt{1+f_{x}^{2}(x,y) +f_{y}^{2}(x,y)} dA$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= 2\int \int_{R}^{}\ \sqrt{1+(\frac{-x}{z} )^2 +(\frac{-y}{z} )^2 } dA~~เมื่อ~z = f(x,y) , x^2+y^2+z^2=a^2$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2\int \int_{R}^{}\ \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2} } dA$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2\int_{0}^{2\pi}\ \int_{0}^{a}\ \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2} }\cdot r dr d\theta $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=4a^2 \pi$

ยากจังนะครับครับ