โจทย์ แคลคูลัสสอง ลู่ เข้า/ออก ครับ
 

ฝากช่วยคิดหน่อยนะครับ :happy:
ลู่ เข้า หรือ ออก ครับ:)

ช่วยหน่อยเถอะนะครับ :D

1. ลู่ เข้า by ratio test

Proof :

$a_n=n!(2^{1/n}-1)^n$

$a_{n+1}=(n+1)!(2^{1/(n+1)}-1)^{n+1}$

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)(2^{1/(n+1)}-1)^{n+1}}{(2^{1/n}-1)^n}$

$~~~~~~=(n+1)(2^{1/(n+1)}-1)\Big(\dfrac{2^{1/(n+1)}-1}{2^{1/n}-1}\Big)^n$

$~~~~~~<(n+1)(2^{1/(n+1)}-1)$

$\displaystyle{\therefore \lim_{n\to\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leq\lim_{n\to\infty}(n+1)(2^{1/(n+1)}-1)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~\displaystyle{=\lim_{m\to 0}\dfrac{2^m-1}{m}, m=\dfrac{1}{n+1}}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\ln 2$ by L'Hospital Rule

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~<1$

2. ลู่ออก by comparison test

$\dfrac{1}{n}\ln{\Big(\dfrac{4^n(n!)^2}{(2n)!}\Big)}\geq \dfrac{\ln 2}{n}$

Proof :

$\dfrac{4^n(n!)^2}{(2n)!}=\dfrac{4^n(n!)^2}{(1\cdot 3\cdot 5\cdots 2n-1)(2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n)}$

$~~~~~~~~~~~=\dfrac{4^n(n!)^2}{(1\cdot 3\cdot 5\cdots 2n-1)(2^nn!)}$

$~~~~~~~~~~~=\dfrac{2^nn!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}$

$~~~~~~~~~~~=\dfrac{2\cdot 4 \cdot 6\cdots 2n}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}$

$~~~~~~~~~~~=\Big(\dfrac{2}{1}\Big)\Big(\dfrac{4}{3}\Big)\Big(\dfrac{6}{5}\Big)\cdots\Big(\dfrac{2n}{2n-1}\Big)$

$~~~~~~~~~~~>2$

1. ลู่ เข้า by comparison test

1. $n!\leq n^n$

2. $(1+\dfrac{r}{n})^n\leq (1+\dfrac{r}{n+1})^{n+1},n\geq 1$

Proof :

1. $n!=1\cdot 2\cdots n\leq n\cdot n\cdots n=n^n$

2. $(1+\dfrac{1}{n})^{n/(n+1)}=(1+\dfrac{1}{n})^{n/(n+1)}\cdot 1^{1/(n+1)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq \dfrac{n}{n+1}\Big(1+\dfrac{r}{n}\Big)+\dfrac{1}{n+1}$ by Weighted AM-GM inequality

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=1+\dfrac{r}{n+1}$

ให้ $r\geq 2(\sqrt{2}-1)$ จะพิสูจน์ว่า

3. $2\leq \Big(1+\dfrac{r}{n}\Big)^n,n\geq 2$

4. $\Big(1+\dfrac{r}{n}\Big)^n\leq \Big(1+\dfrac{r}{\sqrt[n]{n!}}\Big)^n$

Proof :

3. $r\geq 2(\sqrt{2}-1)\Rightarrow 2 \leq (1+\dfrac{r}{2})^2\leq (1+\dfrac{r}{n})^n$ จาก 2.

4. จาก 1. $n!\leq n^n\Rightarrow \sqrt[n]{n!}\leq n$

$\therefore \Big(1+\dfrac{r}{n}\Big)^n\leq \Big(1+\dfrac{r}{\sqrt[n]{n!}}\Big)^n$
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
จาก 3,4

$~~~~~~~~~~~~~~~~~2 \leq \Big(1+\dfrac{r}{\sqrt[n]{n!}}\Big)^n,n\geq 2$

$~~~~~~~~~~~~~~2^{1/n}\leq 1+\dfrac{r}{\sqrt[n]{n!}}$

$\sqrt[n]{n!}(2^{1/n}-1)\leq r$

$n!(2^{1/n}-1)^n\leq r^n$

:yum:

ขอบพระคุณอย่างสูงครับ :D

ข้อ ที่ > 2 ผมใช้ ความน่าจะเป็นทำได้ไหมครับ โดยเปลี่ยนเป็น 2 ^(2n) กับ 2! * (2n เลือก n) ใช้หลักของความน่าจะเป็นที่น้อยกว่าเท่ากับ หนึ่ง
ได้ป้ะครับ

ได้ครับ :great:

หรือ

$2^{2n}=\binom{2n}{0}+\binom{2n}{1}+\cdots+\binom{2n}{2n}$

$~~~~\geq\binom{2n}{n-1}+\binom{2n}{n}+\binom{2n}{n+1}$

$~~~~=2\binom{2n}{n-1}+\binom{2n}{n}$

$~~~~\geq 2\binom{2n}{n}$