สอบถามโจทย์เรื่องความน่าจะเป็นหน่อยครับ
 

โจทย์ : มีอีกษร MATRIX จงหาวิธีการจัดเรียงโดยไม่คำนึงถึงความหมาย จะจัดได้กี่วิธี เมื่อต้องไม่ขึ้นต้นและลงท้ายด้วยสระ
วิธีที่ 1 : จะจัดได้ดังนี้
1. คิดที่ตำแหน่งขึ้นต้นก่อนจะจัดได้ 4 วิธี และจัดตัวลงท้ายจะได้ 3 วิธี เนื่องจากใช้ไป 1 ตัวแล้ว
2. ที่เหลือจะจัดได้ เท่ากับ $4\times 3\times2\times1$
3. ดังนั้นจะจัดได้ทั้งหมดเท่ากับ $4\times 4\times 3\times2\times1\times 3= 12\times 4!$

วิธีที่ 2 : จะจัดได้ดังนี้
$ n(ไม่ขึ้นต้นและลงท้ายด้วยสระ) = n(ทั้งหมด) - n(ขึ้นต้นและลงท้ายด้วยสระ)$
$ n(ทั้งหมด) = 6!$
$ n(ขึ้นต้นและลงท้ายด้วยสระ)$ จะจัดคือ fix สระที่ตัวขึ้นต้นและลงท้าย จะได้เท่ากับ 2 วิธี
ที่เหลือจัดได้เท่ากับ 4!
ดังนั้นจะเท่ากับ $ n(ไม่ขึ้นต้นและลงท้ายด้วยสระ) = 6! - 2\times4! = 28\times4!$

ผมสงสัยว่ามีข้อผิดพลาดตรงไหนครับจึงทำให้ไม่เท่ากัน ช่วยชี้แนะด้วยครับ:please:

วิธีที่ 2. ต่างกับวิธีที่ 1 ตรงที่ ที่ลบไปออกนั้น เป็นกรณีที่หน้ากับหลัง เป็นสระทั้งคู่พร้อมกัน ซึ่งเมื่อลบไปแล้ว จริง ๆ มันยังเหลือกรณีที่ หน้าเป็นสระ หลังเป็นพยัญชนะ (กับ หน้าเป็นพยัญชนะ หลังเป็นสระ)

คำตอบวิธีที่ 2 จึงมีมากกว่าวิธีที่ 1.

แล้วกรณีที่ 1 คิดแล้วยังมีกรณีที่หน้าเป็นสระ หลังเป็นพยัญชนะ (กับ หน้าเป็นพยัญชนะ หลังเป็นสระ) ยังไงครับ ก็ในเมื่อตอนจัดตำแหน่งขึ้นต้นและลงท้ายเอาพยัญชนะมาจัด ช่วยอธิบายหน่อยครับ

ก็กรณีที่ หน้าเป็นพยัญชนะ หลังเป็นสระ ก็จัดได้ (4)(2)(4!) = 8(4!)

กรณีที่ หน้าเป็นสระ หลังเป็นพยัญชนะ ก็จัดได้ (2)(4)(4!) = 8(4!)

จะเห็นว่า 8(4!) + 8(4!) + 12(4!) (จากกรณีที่ 1) = 28(4!) = กรณีที่ 2 พอดี

ขอบคุณครับ

ผมเขียนเพิ่มอีกนิด เผื่อจะเข้าใจง่ายขึ้น

การจัดทั้งหมดจะแบ่งเป็น 4 กรณี

กรณีที่ 1. หน้าเป็นพยัญชนะ หลังเป็นพยัญชนะ
กรณีที่ 2. หน้าเป็นสระ หลังเป็นพยัญสระ
กรณีที่ 3. หน้าเป็นพยัญชนะ หลังเป็นพยัญสระ
กรณีที่ 4. หน้าเป็นสระ หลังเป็นพยัญชนะ

ก่อนที่จะใช้ complement law นี่ต้องแน่ใจว่าแบ่งกรณีทั้งหมดได้อย่างชัดแจ้งแล้วนะครับ จึงจะนำทั้งหมดไปหักออกจากบางส่วน แต่ถ้าแบ่งกรณียังไม่ชัดเจน เวลาลบมันก็จะเหลือที่ตกค้างอยู่ได้ ซึ่งต้องดูปัญหาให้กระจ่างว่าที่โจทย์ต้องการนั้น เป็นส่วนไหน

จริงตามที่คุณสามดาวอธิบาย ช่องโหว่ของวิธีที 2 คือ คิดรวมกรณีที่หัวหรือท้ายเป็นสระอย่างเดียวเข้าไปด้วย คำตอบจึงมากกว่าการคิดแบบกรณีแรก คิดแบบแรกน่าจะเร็วกว่า