ปัญหาข้อที่ 7
 

กำหนดให้ q(x) = x² - 2 และ r₁, r₂, r₃, r₄, r₅ เป็นรากคำตอบของ p(x) = x⁵ + x² + 1 จงหาค่าผลคูณนี้ q(r₁)q(r₂)q(r₃)q(r₄)q(r₅)

จาก P(x) = x⁵ + x² + 1
แต่ r₁, r₂, r₃, r₄, r₅ เป็นรากของ P(x) จึงได้ P(x) = (x-r₁)(x-r₂)(x-r₃)(x-r₄)(x-r₅)
ได้ P(2^1/2 )P( -2^1/2 ) = (2^1/2-r₁)(2^1/2 -r₂)(2^1/2 -r₃)(2^1/2 -r₄)(2^1/2 -r₅)(-2^1/2 -r₁)(-2^1/2 -r₂)(-2^1/2 -r₃)(-2^1/2 -r₄)(-2^1/2 -r₅) = (r₁² - 2)(r₂² - 2)(r₃² - 2)(r₄² - 2)(r₅² - 2) = -23
(คงถูกนะครับถ้าแทนค่าไม่ผิด)

ถูกต้องครับ :)

เเต่ล่ะวงเล็บมันเท่ากับ0เหรอครับ

หมายถึงวงเล็บไหนครับ

คำว่า "r เป็นรากของพหุนาม P(x)" หมายถึง r สอดคล้อง P(r)=0 ครับ
เราจึงได้ว่า P(x) สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็น $(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)(x-r_5)$ ครับ
สิ่งที่เราต้องการคือ $q(r_1)q(r_2)q(r_3)q(r_4)q(r_5)$ ซึ่งเท่ากับ $(r_1^2 - 2)(r_2^2 - 2)(r_3^2 - 2)(r_4^2 - 2)(r_5^2 - 2)$
$=(r_1-\sqrt{2})(r_1+\sqrt{2})\dots (r_5-\sqrt{2})(r_5+\sqrt{2})$
$=\big[(r_1-\sqrt{2})\dots (r_5-\sqrt{2})\big]\times \big[(r_1+\sqrt{2})\dots (r_5+\sqrt{2})\big]$
$=\big[-P(\sqrt{2})\big]\big[-P(-\sqrt{2})\big]$
$=(\sqrt{32}+3)(-\sqrt{32}+3)$
$=9-32$
$=-23$

เข้าใจเเล้วขอบคุณมากมากเลยครับ