ประโยคเปิดนี้มีค่าความจริงคือจริงหรือเท็จครับ
 

มีคนเอามาถามในเฟซบุ๊คกลุ่มตามรูปแนบครับ พอดีผมไม่คุ้นกับการเขียนประโยคเปิดแบบนี้ ทั้งที่ในหนังสือแบบเรียนม.4เขียนอยู่ถึง 3 บรรทัด ไม่รู้ว่ามันสมมูลกับ
$\forall x\left[\,x \in \varnothing \rightarrow x \not\in \varnothing \right] $
หรือเปล่าครับ

ลองทำดู ถูกผิดอย่างไร บอกได้ครับ

$U=\varnothing $

$\forall x[x\not\in \varnothing ]$

เนื่องจาก เซตว่างไม่มีสมาชิก จึงได้ว่า

$\exists x[x\in \varnothing ]$ เป็นเท็จ

แต่ $\exists x[x\in \varnothing ] \equiv \sim (\forall x[x\not\in \varnothing ])$

ดังนั้น $\forall x[x\not\in \varnothing ]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

เจ้าของประโยคเปิดนี้บอกว่า เอกภพสัมพัทธ์ก็เหมือนปกติคือจำนวนจริง แต่ผมไม่คุ้นวิธีเขียนประโยคเิปิดกับตัวบ่งปริมาณแบบนี้ คุ้นๆว่าเขียนได้แต่หาในหนังสือแบบเรียนม.๔ไม่เจอ เจ้าของประโยคเปิดไปเรียนMATHที่อเมริกา ผมเลยไม่แน่ใจว่าเป็นฟอร์แมตทางโน้นหรือเปล่า เลยงงตึ๊บ หนังสือบ้านเราไม่เห็นมีใครใช้ ในข้อสอบก็ไม่ค่อยมีคนใช้เหมือนกัน มีอาจารย์จากมอร์ร็อคโคเข้ามาเขียนว่ารู้จัก Russell's Paradoxหรือเปล่า ผมยิ่งมึนตึ๊บหนักเข้าไปอีก สุดท้ายเจ้าของประโยคเปิดบอกว่า นี่คือ Vacuous Truth ผมเลยงงเข้าไปอีก เลยเอามาถามในนี้ดูเผื่อจะมีคนอธิบายผมได้ ตอนนี้ก็ยังงงตึ๊บ มันเกินเลเวลผมไปเยอะมากๆๆ

ถ้าอย่างนั้น แปลงที่แปะไว้ได้ว่า
"สำหรับทุกๆxที่เป็นสมาชิกของเซตว่าง xไม่เป็นสมาชิกของเซตว่าง"
แบบนี้ใช่ไหมครับพี่เล็ก

ถูกต้องครับ

$\forall x\in \varnothing \left[\,x \not\in \varnothing \right] \equiv

\forall x\left[\,x \in \varnothing \rightarrow x \not\in \varnothing \right] $

ป.ล.ที่เขียนมาไม่เรียกประโยคเิปิด แต่เป็นประพจน์ครับ

ลองเปลี่ยนข้อความนี้ให้เป็นประโยคสัญลักษณ์ดูครับ (แต่ละข้อลองเขียน 2 แบบตามที่แสดงไว้ข้างบนนะครับ)

กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริง

1.สำหรับจำนวนจริง $x$ ใด ๆ ที่เป็นสมาชิกของเซต $A$ จะได้ว่า $x$ ต้องเป็นสมาชิกของเซต $B$

2.มีำจำนวนจริง $x$ บางจำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต $A$ ซึ่ง $x$ เป็นสมาชิกของเซต $B$

กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของนักศึกษาในประเทศไทย

$A$ เป็นเซตของนักศีกษาที่เรียนคณะแพทยศาสตร์มหาวิทยาลัยเชียงใหม่

$B$ เป็นเซตของนักศีกษาที่ไปฝึกงานที่โรงพยาบาลสวนดอก

1.นักศีกษาที่เรียนคณะแพทยศาสตร์มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ทุกคนต้องไปฝึกงานที่โรงพยาบาลสวนดอก

2.มีนักศีกษาที่เรียนคณะแพทยศาสตร์มหาวิทยาลัยเชียงใหม่บางคนไปฝึกงานที่โรงพยาบาลสวนดอก
.....................................................................................................................
ข้อสอบเมืองไทยครับ
ข้อ 1
ข้อ 5

ขอบคุณครับพี่เล็ก คำอธิบายชัดเจนครับ
ตัวอย่างแรก
1.$\forall x \in A \left[\,x \in B\right] $
2.$\exists x \in A \left[\,x \in B\right] $
เห็นชัดแล้วครับ
คงเป็นเพราะผมไม่ได้เจอโจทย์บ่อยเลยไม่คุ้น และเท่าที่ผมตามดูโจทย์ห้าปีหลังแทบจะไม่ใช้ฟอร์แมตแบบนี้

ถ้า่เขียนเป็น
1.$\forall x \in A \left[\,x \in B\right]\equiv\forall x \left[x \in A..........\,x \in B\right] $
2.$\exists x \in A \left[\,x \in B\right]\equiv \exists x \left[x \in A..........\,x \in B\right] $

ต้องเขียนอย่างไรครับ

ตัวเชื่อมต้องเป็น ถ้าแล้วหรือเปล่าครับ

2 ข้อ ไม่เหมือนกันครับ

ข้อแรกใช้ ถ้าแล้ว
ข้อสองต้องใช้ และ
อย่างนั้นใช่ไหมครับ

ถูกต้องครับ

ลองทำโจทย์ข้อสอบเอนทรานซ์กับข้อสอบโอลิมปิกที่ให้ไปดูครับ

ขอบคุณครับพี่เล็ก ช่วยเปิดกะลาให้กบน้อยๆตัวนี้ครับ

การแปลง $\forall x\in A, x\in B \equiv \forall x (x\in A \rightarrow x\in B)$
และ $\exists x\in A, x\in B \equiv \exists x (x\in A\wedge x\in B) $ นั้น :huh:
เป็นความรู้ใหม่สำหรับผมเหมือนกันครับ เพราะไม่เคยเจอหนังสือเล่มไหนเขียนไว้เลย
และหาความสมมูลผ่านนิเสธ พบว่ามันสอดคล้องกันซะด้วย (แสดงให้ดูด้านล่าง)

เดิมที

$\displaystyle \sim \forall x\in A, x\in B \equiv \exists x\in A, x\not\in B$
$\displaystyle \sim \exists x\in A, x\in B \equiv \forall x\in A, x\not\in B$

อันนี้คือ fact ของการนิเสธ for all, for some อยู่แล้ว

ถ้าเราลองเอามาทดสอบ logic สีแดงดู พบว่า
$ \sim \forall x\in A, x\in B$
$\equiv \sim \forall x (x\in A \rightarrow x\in B)$ (ใช้ logic สีแดง)
$\equiv \exists x (x\in A \wedge x\not\in B)$
$\equiv \exists x \in A, x \not\in B$ (ใช้ logic สีแดง)
และ
$ \sim \exists x\in A, x\in B$
$\equiv \sim \exists x (x\in A \wedge x\in B)$ (ใช้ logic สีแดง)
$\equiv \forall x (x\not\in A \vee x\not\in B)$
$\equiv \forall x (x\in A \rightarrow x\not\in B)$
$\equiv \forall x\in A, x\not\in B $ (ใช้ logic สีแดง)

ซึ่งผลที่ได้ออกมาก็ไม่มีอะไรขัดแย้งกับ fact ดั่งเดิมของเรา ดูเหมือนจะไม่มีปัญหาอะไรใช่ไหมครับ :unsure:
แต่จริงๆแล้ว

ถ้าเราลองสลับ logic กัน เป็น for all ใช้และ ส่วน for some ใช้ถ้าแล้ว
$\forall x\in A, x\in B \equiv \forall x (x\in A\wedge x\in B)$
และ $\exists x\in A, x\in B \equiv \exists x (x\in A \rightarrow x\in B)$
แล้วลอง proof แบบด้านบนดูก็พบว่า logic ก็ consistent กันอยู่ดี (ซึ่งไม่ต้องเขียน proof ใหม่ก็ได้ แค่สลับสัญลักษณ์ for all กับ for some ของที่แสดงด้านบนก็พอ)

จะเห็นว่าปัญหาจริงๆอยู่ตรงที่ เราเอาตัวเชื่อมอะไรก็ได้ที่สมมูลกันในแง่นิเสธ (เพราะ for all เป็นนิเสธของ for some) มาใส่ในช่องว่าง ความคิดเห็นที่ 8 ของคุณเล็กอะครับ ดังนั้นก็กลายเป็นว่าเราอยากนิยาม $\forall x\in A, x\in B$ กับ $\exists x\in A, x\in B$ ยังไงก็ได้แล้วแต่เรา ขอให้มันไม่ขัดแย้งกันก็พอ

ทีนี้คำถามก็คือแล้วที่ถูกคืออะไรละ?? :tired: ตามความคิดเห็นของผมคือ หน้าที่ของ quantifier เป็นการทำให้ประโยคที่ตามมาชัดเจน ไม่กำกวม ว่าเรากำลังพูดถึงตัวอะไรอยู่ ซึ่งเราก็เอาใส่ไว้ในเซต A (ถ้าอิงสัญลักษณ์ด้านบน) เป็นเหมือนการบอกเซตของสิ่งที่สนใจ ไม่ได้เป็น logic อันใดแต่อย่างใด ดังนั้นการที่พยายามจะไปเชื่อมโยงมันกับ logic ของประโยคที่ตามมาผมคิดว่ามันผิดจุดประสงค์ของ quantifier

ดังนั้น สัญลักษณ์ $\forall x\in \varnothing , x\not\in \varnothing$ จึงไม่มีความหมาย เพราะมันไม่มีตัวให้พิจารณาอยู่ตั้งแต่แรกแล้ว (ไม่มีอะไรในเซตว่าง) ถ้าจะมีความหมายก็จะหมายถึง "ไม่มีอะไรให้พิจารณา" ดังนั้น ประโยคที่ตามมาจะเป็นอะไร ก็ตอบไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จ เพราะไม่รู้ด้วยซ้ำว่าพูดถึงตัวอะไร ill-defined ที่สุด

กลับกัน $\forall x (x\in \varnothing \rightarrow x\not\in \varnothing)$ มีความหมาย
หมายถึง $\forall x\in Some Universe (x\in \varnothing \rightarrow x\not\in \varnothing)$
และเป็น vacuously true อย่างที่คุณกิตติบอก (เป็น $F\rightarrow F\equiv T$)
จะเห็นว่า เวลาเราไม่กำกับ Universe บอกหลัง for all, for some มีอยู่กรณีเดียว นั่นคือ เป็นที่รู้กันอยู่แล้วว่าที่กำลังพูดถึงตัวอะไรกันอยู่ ถ้าไม่ชัดเจนว่ากำลังพูดถึงอะไร ต้องมี Universe กำกับบอกเสมอ ไม่งั้นคนอ่านก็ไม่รู้ว่าพูดถึงตัวอะไรอยู่

ส่วน Russell's Paradox นั้น ผมเข้าใจว่า Russell เสนอขึ้นมาเพื่อแสดงให้เห็นความไม่สมบูรณ์ของ set theory ในสมัยนั้นเฉยๆ (สมัยนี้ไม่รู้) ซึ่งตอนหลังเข้าใจว่ามี Godel's Incompleteness Theorem ที่ครอบคลุมกว่า เพราะกล่าวถึง system ใดๆโดยทั่วไป ว่าไม่มีทางสมบูรณ์แบบไร้ข้อขัดแย้งได้

พูดถึง paradox ทาง logic มี version ที่ง่ายกว่าของ russell นั้น
ชื่อ Epimenides Paradox: http://en.wikipedia.org/wiki/Epimenides_paradox
สนใจลองกดไปอ่านเพิ่มเติมนะครับ wiki เขียนไว้ดีแล้ว :rolleyes:

ขอบคุณครับคุณ t.B. ผมคงค่อยๆไล่อ่านตามอีกสักรอบ เห็นด้วยกับคำอธิบาย เริ่มเข้าใจเพิ่มแล้วว่า ในแบบเรียนของม.ปลายไม่ได้เน้นอะไรมากถึงประโยคเปิดกับตัวบ่งปริมาณ ที่เขียนมานั้นต้องค่อยๆไล่ ผมเป็นคนอ่านช้าและเข้าใจอะไรช้าครับ