Mathcenter Forum - จำนวนตัวประกอบนี่มันหายังไงกัน !? (บทความ)

เมื่อไม่นานมานี้ผมกำลังอ่านหนังสือสอบแล้วไปเจอข้อนึงซึ่งง่ายมาก เรียนมาตั้งแต่ประถมแล้วนั่นคือ

จงหาจำนวนตัวประกอบของ 196

เราอาจจะนั่งไล่ตั้งแต่เลข 1 ไปเรื่อยๆ จนกว่าจะวนกลับมาที่เดิมก็ได้ครับ แต่!? ผมคิดว่าการมานั่งนับแบบนี้มันโคตรจะเสียเวลา เลยไปนั่งค้นๆ ดูจนเจอ แล้วทำให้ผมร้อง ยูเรก้าา!! ขออนุญาตแปลมาจากต้นฉบับเลยละกันนะครับ

แยกตัวประกอบจะได้ $196 = (2^2)(7^2)$
จำนวนตัวประกอบทั้งหมดของ $(2+1)(2+1) = 9$ คำตอบก็คือ 9 ตัวนั่นเอง เอ้ะ แล้วทำไมวิธีนี้ถึงใช้ได้ผลหล่ะ?

สังเกตตัวประกอบทั้งหมดของ $196$ ว่าแยกตัวประกอบแล้วเป็นยังไงบ้าง (prime factorization)

$\begin{array}{rcl}
(2^0)(7^0) &=& 1\\
(2^1)(7^0) &=& 2\\
(2^2)(7^0) &=& 4\\
(2^0)(7^1) &=& 7\\
(2^1)(7^1) &=& 14\\
(2^2)(7^1) &=& 28\\
(2^0)(7^2) &=& 49\\
(2^1)(7^2) &=& 98\\
(2^2)(7^2) &=& 196\\
\end{array}$

จะเห็นว่าเลขยกกำลังของ 2 จะมีแค่ 0,1,2 และ 7 ก็จะมีแค่ 0,1,2 เหมือนกัน จำนวนตัวประกอบทั้งหมด 9 ตัวนี้ เกิดจากการจับคู่กันของ $2^0,2^1,2^2$ กับ $7^0,7^1,7^2$ นั่นก็คือ $3\times 3$ แบบนี้นี่เองงง!

ผมนั่งงมโข่งหาแพทเทิร์นอยู่ตั้งนานก็คิดไม่ออก จนมาเจอบทความของคุณ Jeff Sackman จากเว็บ http://www.gmathacks.com

อันนี้เป็นลิงค์บทความที่ผมแปลมาอะนะฮะ Number of Factors of a Large Integer

ผมเป็นคนที่ถ้าไม่เห็นพิสูจน์สูตรอะไรแล้วจะไม่อยากเอามาใช้เลยถ้าหาพิสูจน์ไม่ได้ พอเจอแล้วก็เอามาแบ่งปันครับผม หวังว่าจะมีคนชอบนะฮะ 5555:laugh: