ช่วยคิดทีคร้าบ
 

ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมโดยที่ AB= c หน่วย BC= a หน่วย AC= b หน่วย โดยที่ c<b<a
จงหาความยาวของเส้นมัธยฐานที่ยาวที่สุด และ รัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยมนี้

มัธยฐานยาวสุด=(a+b)/2 , Rวงกลมแนบใน = พ.ท.สามเหลี่ยม/ความยาวครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม


#3 เส้นมัธยฐาน ใช้เวกเตอร์ฟิสูจน์ก็ได้ครับ ส่วน Rแนบใน พิสูจน์จากพื้นที่สามเหลี่ยมครับ

มีพิสูจน์มั้ยคับ

ความยาวเส้นมัธยฐานไม่น่าจะใช่ $\frac{a+b}{2}$ นะครับ
ลองอ่านดูใน http://mathworld.wolfram.com/TriangleMedian.html ดูครับ

สูตรของเส้นมัธยฐานที่ลากจากจุดยอด $A$ มายังด้าน $BC$ คือ $m_a = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2AB^2+2AC^2-BC^2\right)} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2c^2+2b^2-a^2\right)}$
ทำนองเดียวกัน เส้นมัธยฐานจากจุดยอด $B$ จะเป็น $m_b = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2c^2+2a^2-b^2\right)}$ และเส้นมัธยฐานจากจุดยอด $C$ จะเป็น $m_c = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)}$

คราวนี้จะเปรียบเทียบว่าเส้นไหนยาวสุด ก็จัดรูปนิดหน่อยครับ...
$$m_a = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2c^2+2b^2-a^2\right)} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\left[2a^2+2b^2+2c^2\right]-3a^2\right)}$$
$$m_b = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2c^2+2a^2-b^2\right)} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\left[2a^2+2b^2+2c^2\right]-3b^2\right)}$$
$$m_c = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\left[2a^2+2b^2+2c^2\right]-3c^2\right)}$$

จาก $c<b<a$ จะได้ว่า $m_c>m_b>m_a$ (ยิ่งตัวลบเยอะค่ายิ่งน้อย) ดังนั้นคำตอบก็คือ $m_c = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)}$

ผมใช้สูตรแบ่งอัตราส่วนอะครับ

สมมติ Vector w เป็นเส้นมัธยฐาน แบ่งครึ่งฐานAB เป็นอัตราส่วน 1:1

จะได้ $\overrightarrow{w} = \frac{1\times \overrightarrow{a} + 1\times \overrightarrow{b}}{1+1} $

ผมเข้าใจอะไรผิดช่วยชี้แนะด้วยครับ :sweat:

นี่ครับ ความยาวเส้นมัึธยฐานผมคิดได้ว่าอยู่ในช่วงนี้ครับ :
$\frac{a+b-c}{2}<m_{c}<\frac{a+b}{2}$

ผมว่าน่าจะลองใช้ $a^2+b^2=2(c^2+d^2)$ สำหรับเส้นมัธยฐานนะครับ

$รัศมี=\frac{2พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม}{เส้นรอบรูป}$ ครับ

โจทย์หง่ายดีครับ ต้องเอาไปให้น้องทำ พยายยามต่อไปนะครับ