ช่วยหน่อยคับ Analysis (เกี่ยวกับ diff)
 

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บน (a,b) และต่อเนื่องบน [a,b] กำหนดให้ f(a)=f(b)=0 จงพิสูจน์ว่า สำหรับทุกๆ k ที่เป็นจำนวนจริง จะมี c ใน (a,b) ซึ่งทำให้ f '(c)=kf(c)
ปล. ช่วย Hint มาหน่อยนะคับ ขอบคุณคับ

ให้ $g(x)=e^{-kx}f(x)$ แล้วใช้ Rolle's theorem กับ $g$ ครับ

ขอบคุณมากๆคับ อ่อ ขอแนวคิดที่ทำให้ได้ g หน่อยอะคับ ต้องใช้ ODE มาช่วยหรอคับ ไงก็ขอบคุณอีกครั้งคับ

ใช่ครับ มาจากการแก้สมการ $f'(c)=kf(c)$

จากการแก้ ODE สมการข้างบนนี้ เราจะได้ $f(x)=Ae^{kx}$ โดย A เป็นค่าคงที่ใช่ป่าวครับ

แล้วเรามอง A เป็น g(x) ได้ยังไงครับ ตรงนี้ผมไม่เข้าใจ:please:

เราทราบว่า $f(x)=Ae^{kx}$ คือฟังก์ชันที่ทำให้สมการข้างบนเป็นจริง

เขียนใหม่ได้เป็น $f(x)e^{-kx}=A$

หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างจะได้สมการที่ต้องการพอดี เพราะอนุพันธ์ของข้างขวาเป็นศูนย์

จึงเลือก $g(x)=f(x)e^{-kx}$

ขอบคุณครับ

ถ้าเราหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างจะได้

-kf(x)$e^{-kx}$+$f^{'}$(x)$e^{-kx}$=0

เนื่องจาก f(x) หาอนุพันธ์ได้บนช่วง (a,b) ดังนั้นเราสามารถเลือก c บน (a,b) ซึ่ง

-kf(c)$e^{-kc}$+$f^{'}$(c)$e^{-kc}$=0

ได้ $f^{'}(c)=kf(c)$ เลย

ทำแบบไม่ต้องผ่าน Rolle's theorem อย่างนี้เลย ได้ป่าวครับ

ที่ทำมาทั้งหมดเป็นแค่การเดารูปแบบของฟังก์ชัน $g$ ที่จะนำมาใช้กับ Rolle's theorem เท่านั้นครับ
จริงๆแล้วเราต้องการแค่หา $c$ เพียงค่าเดียวเท่านั้นที่สอดคล้อง $f'(c)=kf(c)$ ไม่ได้บอกว่าฟังก์ชัน $f$ สอดคล้องสมการนี้จริงๆ