ช่วยทำโจทย์ อสมการ ให้หน่อยครับ
(1+a1)(1+a2)...(1+an)ณ (2n/(n+1))(1+a1+a2...+an)
โดยใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ |
ลืมบอกไปครับว่า n เป็นจำนวนนับซึ่งณ2
aiณ1 สำหรับ i=1,2,3...,n |
ข้อนี้ยากครับ ต้องว่ากันยาวเลยครับ
Hint ให้นิดหน่อยในขั้นอุปนัย ให้พิสูจน์ว่า (k + 2)(1 + x)(1 + y) ณ 2(k + 1)(1 + x + y) เมื่อ x = a1 + ... + ak และ y = ak+1 อาจจะต้องใช้ y ณ 1 และ x ณ k ด้วยครับ จริงๆมีวิธีพิสูจน์โดยตรงด้วยครับ แต่ก็ต้องใช้อสมการอีกอันนึงมาช่วยด้วย เป็นวิธีพิสูจน์ที่น่าสนใจทีเดียวครับ วิธีนี้จะใช้อสมการ (1 + x1)...(1 + xn) ณ 1 + x1 + ... + xn เมื่อ xi ณ 0 ทุก iลองเอาไปคิดดูครับ |
ข้อนี้อุปนัยยาวหรือครับ. อย่างกับเคยทำแล้วสั้นไม่รู้ทำไปตอนนั้นผิดหรือเปล่า
ทำตรง ๆ น่าจะ work และเร็วกว่าหรือเปล่า ?. คือพิสูจน์ว่า [ (1 + a1)/2 ] [ (1 + a2)/2 ] [ (1 + a3)/2 ] ... [ (1 + an)/2 ] ณ (1 + a1 + a2 + ... + an)/(n + 1) แทน โดยเริ่มจาก [ (1 + a1)/2 ] [ (1 + a2)/2 ] [ (1 + a3)/2 ] ... [ (1 + an)/2 ] = [1 + (a1 - 1)/2 ] [1 + (a2 - 1)/2 ] ... [1 + (an - 1)/2 ] แล้วก็ deduce ไปแบบที่ nooonuii บอกครับ. จากนั้นก็แปลงร่างส่วนไปเป็น .... เพราะมัน obvious ทุก n ณ 2 แล้วก็เล่นพีชคณิตนิดหน่อยก็จบแล้วครับ |
จริงๆใช้อุปนัยก็ไม่ยาวเท่าไหร่ครับ แต่อาจจะมั่วสัญลักษณ์กับตัวแปรครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 06:43 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha