ก่อนอื่นจะแสดงว่า $p \ | \ n$

สมมติ $(x,y)$ เป็นคู่อันดับที่สามารถเขียนในรูป $x^n+y^n=p^k$ สำหรับบาง $k \in \mathbb{N}$ ที่ให้ $x+y$ น้อยที่สุดสำหรับแต่ละ $n$ ที่เป็นไปได้

พิจารณา $x^n+y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots +y^{n-1})=p^k$
ดังนั้นจะสามารถเขียน ซึ่ง $x+y=p^{\alpha}, x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots +y^{n-1} = p^{\beta}$ เมื่อ $\alpha,\beta \in \left\{ 0,1,...,n \right\},\alpha+\beta=n$

แต่ $x+y>1$, $\alpha \ge 1$ นั่นคือ $p \ | \ (x+y)$

และ $x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots +y^{n-1} = \dfrac{x^n+y^n}{x+y}>1$ , $\beta \ge 1$ นั่นคือ $p \ | \ (x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots +y^{n-1})$

จาก $p \ | \ (x+y), x \equiv -y \pmod n$
$x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots +y^{n-1} \equiv nx^{n-1} \pmod p$

แต่ $p \ | \ (x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots +y^{n-1}), \therefore p \ | \ nx^{n-1}$

$p \ | \ x$ หรือ $p \ | \ n$

ถ้า $p \ | \ x$ จะได้ $p \ | \ y$ ด้วย และจะได้

$(\dfrac{x}{p})^n+(\dfrac{y}{p})^n=p^{k-n}$

นั่นคือ $p^{k-n} = (\dfrac{x}{p})^n+(\dfrac{y}{p})^n > 1, k-n \ge 1$
ดังนั้นมี $(\dfrac{x}{p},\dfrac{y}{p})$ ซึ่ง $\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{p}$ มีค่าน้อยกว่า $x+y$ เกิดข้อขัดแย้ง

ดังนั้น $p \ | \ n$ ตามต้องการ

ถ้ามีจำนวนเฉพาะ $q \not= p$ ซึ่ง $q \ | \ n$

จะพบว่า $(x^q+y^q) \ | \ (x^n+y^n)$ นั่นคือ $(x^q+y^q) \ | \ p^k$
จะมี $c$ ซึ่ง $x^q+y^q = p^c$

ซึ่งจาก $x^q+y^q = p^c > 1, c\ge 1$
เนื่องจากสามารถเขียนสมการในรูปดังกล่าว $p \ | \ q$
เกิดข้อขัดแย้ง

ดังนั้น $p$ เป็นจำนวนเฉพาะเดียวที่หาร $n$ ลงตัว
$\therefore n = p^m$ ซึ่ง $m \ge 1$ โดย $n>1$