โดย Euler's theorem, $ 2^{\phi(25)} \equiv 1\; (\bmod 25) $
$2^{20} \equiv 1 \;(\bmod 25) $
$2^{100!} \equiv 1\; (\bmod 25) $
$2^{100!} \equiv 1, 26, 51, 76 \;(\bmod 100) $
จาก $4 \mid 2^{100!} $ ดังนั้น $2^{100!} \equiv 76 \;(\bmod 100) $
$2^{100!} - 1 \equiv 75 \;(\bmod 25) $
Ans 75

การหาสองหลักสุดท้ายของ $2^{N}$ เมื่อ $N\inจำนวนนับ และ N\geqslant 4$
คือ เลขท้ายสองตัว(ไม่ได้ใบ้หวยนะครับ)จะซ้ำเป็นรอบๆ รอบละ 20 ตัว ดังนี้
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 1 สองหลักสุดท้ายคือ 52$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 2 สองหลักสุดท้ายคือ 04$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 3 สองหลักสุดท้ายคือ 08$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 4 สองหลักสุดท้ายคือ 16$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 5 สองหลักสุดท้ายคือ 32$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 6 สองหลักสุดท้ายคือ 64$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 7 สองหลักสุดท้ายคือ 28$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 8 สองหลักสุดท้ายคือ 56$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 9 สองหลักสุดท้ายคือ 12$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 10 สองหลักสุดท้ายคือ 24$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 11 สองหลักสุดท้ายคือ 48$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 12 สองหลักสุดท้ายคือ 96$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 13 สองหลักสุดท้ายคือ 92$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 14 สองหลักสุดท้ายคือ 84$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 15 สองหลักสุดท้ายคือ 68$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 16 สองหลักสุดท้ายคือ 36$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 17 สองหลักสุดท้ายคือ 72$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 18 สองหลักสุดท้ายคือ 44$
ถ้า $20 หาร N เหลือเศษ 19 สองหลักสุดท้ายคือ 88$
ถ้า $20 หาร N ลงตัว สองหลักสุดท้ายคือ 76$
เพราะฉะนั้น $2^{100!} จะมีเลขท้ายสองตัวเป็น 76 เพราะ 20 หาร 100! ลงตัว$
ดังนั้น$2^{100!}-1 จะมีเลขท้ายสองตัวเป็น 75$