สมการเชิงฟังก์ชันครับ
นั่งรื้อๆเอกสารที่บ้านอยู่ เเล้วก็เจอข้อที่ยังไม่ได้คิด เลยลองหยิบมาคิดๆดู คิดไม่ออกสักทีครับ :sweat:
จงหา $f:R\rightarrow R$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเเละสอดคล้อง $f(x+2f(y)) = f(x)+f(y)+y$ |
$f(x)=x$ ,,,,,,
|
ผมนั่งมั่วไปๆมาๆถึงตี 4 :wacko: ออกมาเเบบนี้อะครับ ลืมอะไรไปหลายอย่าง
สลับ $x,y$ จะได้ $f(y+2f(x)) = f(x) + f(y)+x$ $..... (1)$ เเทน $y$ ด้วย $x+2f(y)$ ในสมการโจทย์ เเละใช้สมการของโจทย์ไปเรื่อยๆ จะได้ $f(x+2f(x+2f(y))) = f(x) + f(x+2f(y))+x+2f(y)$ $f(x+2f(x)+2f(y)+2y) = f(x)+f(x)+f(y)+y+x+2f(y)$ $f(x+2f(x)+2y)+f(y)+y = 2f(x)+3f(y)+x+y$ จาก $(1)$ จะได้ $f(x)+f(x+2y)+x+f(y)+y=2f(x)+3f(y)+x+y$ $f(x+2y)=f(x)+2f(y)$ คือได้ถึงตรงนี้เเล้วผมเดาว่ามันน่าจะสอดคล้องสมการโคชีอะครับ เเต่ผมทำเเบบนี้ต่อ หาอนุพันธ์เทียบ $x$ ทั้งสองข้าง จะได้ $f'(x+2y)=f'(x)$ นั่นคือสำหรับเเต่ละจำนวนจริง $y$ จะพบว่า $f'(x)$ เป็นค่าคงที่ ดังนั้น $f'(x) = a$ สำหรับทุก $x$ ที่เป็นจำนวนจริง $f(x) = ax+b$ เเทนค่ากลับไปจะได้ $f(x) = -\frac{1}{2}x$ หรือ $f(x) = x$ เเทนค่ากลับพบว่าเป็นจริง |
ต่อจากของพี่ Suwiwat B ฮะ ผมคิดได้อีกวิธีนึง คือ
จาก $f(x+2y)=f(x)+2f(y)$ แทนทั้ง $x,y$ เป็น $0$ จะได้ว่า $f(0)=0$ แทน $x=0$ จะได้ $f(2y)=2f(y)$ แสดงว่า $f(x+2y)=f(x)+f(2y)$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการโคชี ได้ว่า $f(x)=cx$ โดยที่ $c$ เป็นค่าคงที่ แทนค่าในสมการเริ่มต้นก็จะได้ $f(x)=x$ และ $f(x)=-\frac{x}{2}$ ครับ ป.ล. มีโจทย์อีกมั้ยครับ :D |
เอ้ยมันง่ายขนาดนี้เลย 5555 มองไม่ออกไม่ได้ทำมานาน ผมว่าเดี๋ยวผมได้มาถามอีกเเน่ๆรอก่อนนะครับ :)
ว่าเเล้วโจทย์ก็มาเลย ... อีก 2 ข้อเเล้วกันนะครับ จริงๆมีอีกเยอะเลย :died: 1. จงหาฟังก์ชัน $f:Z\rightarrow Z$ ที่ทำให้ $\forall m\in Z$ : $f(f(m)) = m+1$ 2. จงหาฟังก์ชัน $f,g,h_1,h_2$ ทั้งหมดซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องจาก $R$ ไปยัง $R$ เเละสอดคล้องสมการ $ f(x+y) = g(x)+h_1(x)h_2(y) $ |
อ้างอิง:
วิธีทำ ข้อ 1 แทน $m=f(m)$ ลงในสมการที่โจทย์ให้มาจะได้ $f(f(f(m)))=f(m)+1$ จาก $f(f(m))=m+1$ $\therefore f(m+1)=f(m)+1$ อุปนัยได้ $f(m)=m+f(0)\ \ \forall m\in \mathbb{Z}$ แทนต่ากลับหา $f(0)$ ได้ $m+2f(0)=m+1$ จะได้ $f(0)=\frac{1}{2}\not\in \mathbb{Z}$ แต่ $f : \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ ขัดแย้ง ดังนั้นไม่มีฟังก์ชันที่สอดคล้อง |
#3 ฟังก์ชันต่อเนื่องก็จริง แต่ไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้นะ :happy:
(เช่น $f(x)=|x|$) ____________________________________________________ อีกวิธีหนึ่ง แทน $x=y-2f(y)$ ได้สมการ $f(y)=f(y-2f(y))+f(y)+y$ จัดรูปได้ $f(y-2f(y))=-y$ หรือก็คือ $f(-y-2f(-y))=y$ แปลว่า $f$ onto $\mathbb{R}$ แสดงได้ไม่ยากว่า $f(k)=0$ มีคำตอบเดียวคือ $k=0$ จากสมการเดิม แทน $y$ ด้วย $-\dfrac{y}{2}-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)$ เพื่อให้ $f\Big[-\dfrac{y}{2}-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)\Big]=\dfrac{y}{2}$ ได้ว่า $f(x+y)=f(x)+\dfrac{y}{2}-\dfrac{y}{2}-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)$ หรือก็คือ $f(x+y)=f(x)-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)$ ---------------------------(*) แทน $x=0$ ได้ $f(y)=-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)$ เอาสมการนี้แทนลงใน (*) ได้ว่า $f(x+y)=f(x)+f(y)$ และใช้ผลของความต่อเนื่องของฟังก์ชันเพื่อแสดงว่าสอดคล้องสมการโคชี ที่เหลือก็แก้ได้ง่ายแล้วครับ :kaka: |
โอ้วขอบคุณ PP มากๆ ดูง่ายดีเหมือนกันครับ
ผมเอามาอีกข้อนึง ไม่น่าจะยากมาก จงหาฟังก์ชัน f บนเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่ $f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2 + y$ |
ประมาณนี้หรือป่าว
\[\begin{array}{l}
P\left( {x,y} \right)\quad \Rightarrow \quad f\left( {xf\left( x \right) + f\left( y \right)} \right) = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2} + y\\ \exists a,f\left( a \right) = 0\\ P\left( {a,x} \right)\quad \Rightarrow \quad f\left( {af\left( a \right) + f\left( x \right)} \right) = {\left( {f\left( a \right)} \right)^2} + x\\ \quad \quad \quad \quad \Rightarrow \quad f\left( {f\left( x \right)} \right) = x\\ P\left( {f\left( x \right),y} \right)\quad \Rightarrow \quad f\left( {f\left( x \right)f\left( {f\left( x \right)} \right) + f\left( y \right)} \right) = {\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)^2} + y\\ {\kern 1pt} \quad \quad \quad \quad \Rightarrow \quad f\left( {xf\left( x \right) + f\left( y \right)} \right) = {x^2} + y\\ P\left( {f\left( x \right),y} \right) = P\left( {x,y} \right)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \Rightarrow f\left( x \right) = x \end{array}\] |
ตรงบรรทัดสุดท้ายได้ว่า $(f(x)-x)(f(x)+x) = 0$
สำหรับแต่ละ $x$ จะได้ว่า $f(x) = x , -x$ $\therefore$ อาจจะมีฟังก์ชัน ที่ $f(1) = 1$ แต่ $f(2) = -2$ ก็ได้ |
ตรงนี้เเหละครับ .. ผมจะเเสดงยังไงว่ามันเเยกกัน ???
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:21 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha