ช่วยคิด 3 ข้อนี้ทีครับ ระดับประมาณ ม.1 จะเอาไปสอนน้อง ยังคิดไม่ตกเลยครับ
 

1. กำหนด k เป็นจำนวนเต็ม 5 หลัก ที่ทราบว่าตัวเลขหลักพัน,หลักร้อย,หลักสิบ มีค่าเป็น 1,5,8 ตามลำดับ
สมมติให้ตัวเลขหลักหมื่นและหลักหน่วยเป็น p และ q ตามลำดับ โดย k หารด้วย 72 ลงตัว
จงหาค่าของ p+q
1. 11
2. 12
3. 13
4. 14

2.จงหาเศษจากการหาร 3 x 5 x 7 x 13 x 23 x 515 ด้วย 11

3. จงหาจำนวนนับที่มี 42 เป็นตัวประกอบ และมีตัวประกอบจำนวนนับทั้งหมด 42 ตัว มีทั้งหมดกี่จำนวน


รบกวนทีนะครับ ขอแค่ไอเดียหรือหลักการคร่าวๆก็ได้ครับ
ขอบคุณมากๆเลยครับ

จริงๆข้อนี้อยู่ที่การพิจารณา 2 facts ข้างล่าง สังเกตว่า ถ้า $k$ หารด้วย $72$ ลงตัว $k$ ต้องหารด้วย $9$ และ $8$ ลงตัว

ก่อนอื่นจากโจทย์ จำนวนนี้คือ $\overline{p158q}$

$\textbf{Fact 1.}$ จะดูเศษเหลือจากการหารด้วย 8 ให้ดูที่เลขสามหลักท้าย

ดังนั้น $\overline{58q}$ หารด้วย $8$ ลงตัว รู้สึกจะได้ $q=4$

$\textbf{Fact 2.}$ จะดูเศษเหลือจากการหารด้วย 9 ให้ดูที่ผลบวกเลขโดด

ดังนั้น $p+1+5+8+4$ หารด้วย $9$ ลงตัว รู้สึกจะได้ $p=9$

จริงๆ ระดับม.ต้น ก็คูณไปตรงๆก็ได้ แต่ดูจากสภาพเลขแล้วอาจเสียสติหลังทำโจทย์
ขอเสนอวิธีอธิบาย concept ของ modulo ไว้คร่าวๆ

$\textbf{Fact 3.}$ จะดูเศษเหลือจากตัวที่คูณกันยาวๆ ให้แยกเอาเศษเหลือมาคูณได้

เช่น เพราะว่า $13$ หาร $11$ เหลือเศษ $2$,
$23$ หาร $11$ เหลือเศษ $1$
$515$ หาร $11$ เหลือเศษ $1$

แทนที่จะหาผลคูณ $3 \times 5 \times 7 \times 13 \times 23 \times 515$
เราสามารถเปลี่ยนเป็นหาผลคูณ $3 \times 5 \times 7 \times \textbf{2} \times \textbf{1} \times \textbf{1}$

ดังนั้นเศษเหลือที่ได้เหมือนเศษเหลือจากการหาร $210$ ด้วย $11$

ส่วนตัวไม่ค่อยชอบโจทย์แบบนี้ ในระดับม.ต้น เพราะเนื้อหาจริงๆเป็นเรื่องการนับของ ม.ปลาย
พอโจทย์แบบนี้ลงมาระดับ ม.ต้น มันเลยกลายเป็นการท่องสูตร

สังเกตว่า $42$ แยกตัวประกอบได้เป็น $2\times 3 \times 7$

แสดงว่าตัวเลขที่ต้องการจะอยู่ในรูป $2^a\times 3^b \times 7^c$ (จริงๆ ถ้าเขียนวิธีทำแบบลึกๆ บรรทัดนี้ผิดนะ แต่ถ้าสำหรับทำโจทย์ แบบนี้น่าจะพอ)

$\textbf{Fact 4.}$ จะหาจำนวนตัวประกอบให้หาผลคูณของเลขชี้กำลังที่บวก $1$ แล้ว
เช่น จำนวนตัวประกอบของ $11^7\cdot 19^3$ คือ $(7+1)\times (3+1)=32$ ตัว

กลับมาที่โจทย์ ซึ่งบอกว่าจำนวนที่เราต้องการมีตัวประกอบทั้งสิ้น $42$ ตัว จะได้ว่า
$(a+1)\times (b+1) \times (c+1) = 42$

ซึ่งก็กลับมาที่การเทียบ $42=2\times 3 \times 7$

ถ้า $a+1=2$ , $b+1=3$, $c+1=7$ เราจะได้ว่า จำนวนนั้นคือ $2^1\times 3^2\times 7^6$

ถ้า $a+1=7$ , $b+1=2$, $c+1=3$ เราจะได้ว่า จำนวนนั้นคือ $2^6\times 3^1\times 7^2$

ไล่ไปเรื่อยๆ จะได้ว่ามี $6$ จำนวน (ถ้านับไม่ผิด, ไม่ตกหล่น)