สอวน เข้ารอบ 3 ที่เกษตร
มันเเบ่งออกเป็นสองวันนะครับ
เเต่จะเอาเเต่ข้อที่ดูไม่ยากเเละน่าสนใจ เเละข้อที่ทำไม่ได้มานะครับหวังว่าทุกคนคงจะสนใจ เอาข้อเเรกข้อนี้ทำไม่ได้ ในโรงเรียนsovn เเห่งหนึ่งมีอยู่ 6 ชั้น เด็กนักเรียนมีเลขประจำตัวคือ 1,2,3,...,2007 ผู้อำนวยการผู้มีความเป็นเลิศทางคณิตศาสตร์ เลยคาดเดาว่า มีนักเรียนอย่างน้อย 1 คนที่มีเลขประจำตัว เป็นผลบวกของนักเรียน 2 คนในระดับชั้นเดียวกัน หรือไม่ก็เป็น 2 เท่าของอีกของคนนึงในระดับชั้นเดียวกัน ถ้าคุณเป็นคนที่มีความเป็นเลิศเช่นเดียวกันช่วยบอกได้ไหมผู้อำนวยการพูดถูกหรือไม่คุณจงเเสดงให้เห็นด้วย |
1 ไฟล์และเอกสาร
พอดีผมเริ่มจะจำขอสอบไม่ได้บ้างเเล้วบางอย่างอาจขาดไป
|
1 ไฟล์และเอกสาร
ข้อนี้อยู่ในข้อสอบชุดเเรก(คณิตฉบับง่าย มี 2 ชุด)
|
เอาไป 3 ข้อก่อนนะครับเดี่ยววันหลังมาโพสอีกที
|
ข้อ 3. นะครับ ลองดูว่าผมหาครบหรือยัง มั่วพิลึกชอบกล :aah:
จงหา $P(x)$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x^2 + 1 | P(x) , x^3 + x + 1 | P(x) + 1$ $P(x) = (x^2 + 1)Q(x) = (x^3 + x + 1)G(x) - 1 \iff (x^3 + x + 1)G(x) - (x^2 + 1)Q(x) = 1 \cdots (*)$ เพราะว่า $\gcd (x^3 + x + 1 , x^2 + 1) = 1 | 1 $ ดังนั้น สมการ (*) มีคำตอบ (มีไหมนี่ทฤษฎีนี้) :laugh: ชัดเจนว่า $(G(x), Q(x)) = (1, x)$ เป็นคำตอบหนึ่ง ดังนั้นคำตอบทั่วไปจึงเป็น $(G(x), Q(x)) = (1-k(x^2+1)), x - k(x^3 + x +1))$ นั่นคือ $P(x) = (x - k(x^3 + x + 1))(x^2 + 1)$ เมื่อ k เป็นค่าคงตัวใดๆ Note. น่าจะได้ข้อสอบตัวเต็มๆมาลงนะครับ.. จะได้สมบูรณ์ :wub: |
3. จงหา $P(x)$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x^2+1\mid P(x)$ และ $x^3+x+1\mid P(x)+1$
จากที่ $x^3+x+1\mid P(x)+1$ แสดงว่า $P(x) = (x^3+x+1)Q(x)-1$ นั่นคือ $$P(x)= (x(x^2+1)+1)Q(x)-1 = x(x^2+1)Q(x)+Q(x)-1 $$ แต่เรารู้ว่า $x^2+1\mid P(x)$ ดังนั้น $x^2+1\mid Q(x)-1$ นั่นคือ $Q(x)=(x^2+1)R(x)+1$ ดังนั้น $$ \begin{array}{rcl} P(x) & = & (x^3+x+1)Q(x)-1 \\ & = & (x^3+x+1)((x^2+1)R(x)+1)-1 \\ & = & (x^3+x+1)(x^2+1)R(x) +x^3+x \end{array} $$ |
ดูของคุณ warut แล้วรัดกุมกว่ามากเลย :great: แต่ในขณะเดียวกัน ผมก็ได้เทคนิคใหม่ โดยขอเปลี่ยนจาก $k$ เป็น $f(x)$ ครับ. :happy:
|
Another Solution for #3 : (Abstract Algebra Version)
Use Chinese Remainder Theorem for polynomial ring . |
ขอเเก้ข้อเเรกตรงเป็น 2 เท่าในระดับชั้นเดียวกันนะครับ
ส่วนข้อ 2 ใช้phi funtion ส่วนอีกข้อนึงเป็น ของ APMO เรื่องfunction เลขคณิต คงคุ้นเคยกันบ้างเเล้วเเละคงข้ามการถามข้อนี้ไป เเต่ที่เเค้นที่สุดคืออกข้อสอบ IMO 1999 ในตอนสอบเข้าค่าย 2 ทั้งๆที่มีโจทย์ข้ออื่นให้ทำตั้ง 15 ข้อ ภายใน 3 ชั่วโมง ผมค่อนข้างมั่นใจกับโจทย์ 2 ข้อเเรก |
1 ไฟล์และเอกสาร
อีกข้อ เป็นเทาฟังก์ชัน
|
1 ไฟล์และเอกสาร
ข้อนี้เป็นphi function อีกเเล้ว
ข้อนีผมลดทอนด้วยออยเลอร์บ้างเเล้วอานนี้อยุในคนิตง่ายนะจ๊ะ จำตัวเลขที่เเท้จริงไม่ได้ จำได้เเต่ลดทอน |
อีกข้อนึงที่จะถามอยากถาม ข้อ 8 ในเเบบฝึกหัดของ สอวน. เรื่ง ceva เเละเมเนลอสอ่าครับ
|
ช่วยเฉลยให้ผมหน่อยเถอะครับ ผมอยากพัฒนาความคิดด้วย เพราะผมทำมันยางไม่ค่อยได้เลย
|
Prove that $\tau(n)\ge\sqrt n$.
$\tau(n)$ คืออะไรครับ ถ้าคือจำนวนของตัวประกอบของ $n$ ล่ะก็ ข้อความข้างบนไม่เป็นจริงครับ ยกตัวอย่างเช่น $\tau(5)=2<\sqrt5$ |
ขอเเก้ด่วนเลยนะครับ$\tau (n)\leq \sqrt n$
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:58 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha