มีโจทย์ให้เพื่อนช่วยกันขบคิดครับ
 

ถ้าปล่อยปลาสีแดงจำนวน 10 ตัว และปล่อยให้ปลาที่ปล่อยว่ายน้ำไปทั่วสระน้ำ ต่อจากนั้นสุ่มจับปลาขึ้นมา 5 ตัว ปรากฏว่าได้ปลาสีแดง 2 ตัว ถามว่าในสระน้ำมีปลากี่ตัว ประมาณได้ว่ามีปลาอยู่ 25 ตัว แต่ปัญหาคือไม่จำเป็นที่จะต้องมีปลา 25 ตัวก็ได้ จำนวนปลาในสระน้ำที่แน่นอนคือ 13 ตัวเป็นอย่างน้อย (ถูกจับขึ้นมา 5 ตัว อย่างน้อย ๆ ในสระน้ำจะต้องเหลือปลาสีแดง 8 ตัว (ถูกจับขึ้นมา 2 ตัว หลักจากปล่อยไป 10 ตัว) รวมเป็น 13 ตัวเป็นอย่างน้อย) อาจจะเป็นกี่ตัวก็ได้ตั้งแต่ 13 ตัวขึ้นไป อาจจะมีเป็น 100 ตัวเลยก็ว่าได้ แต่โอกาสค่อนข้างน้อย

ผมอยากทราบว่าความน่าจะเป็นที่ในบ่อจะมีปลา n ตัวมีค่าเท่าใด

แต่ผมได้ทำการบ้านมาด้วยครับอยู่ข้างล่าง ถ้าสนใจไปดูได้ครับ

ตอนแรกผมก็ใช้วิธี สร้างสมมุติฐานว่าในบ่อมีปลา n ตัว ความน่าจะเป็นที่สุ่มจับปลาขึ้นมา 5 ตัวปรากฎว่าได้ปลาสีแดง 2 ตัว เป็นเท่าใดนั่นคือความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบปลาขึ้นมา 5 ตัว ปรากฎว่าได้ปลาสีแดง 2 ตัว แล้วในบ่อปลาจะมีปลา n ตัว
เริ่มจากสมมุติว่าในบ่อมีปลา 13 ตัว
หาจำนวนวิธีที่จะสุ่มหยิบปลา 5 ตัวแล้วได้ปลาสีแดง 2 ตัว
งานที่ 1 สุ่มหยิบปลาสีแดง 2 ตัวจากปลาสีแดง 10 ตัว จำนวนวิธีเท่ากับ $\binom{10}{2}$
งานที่ 2 สุ่มหยิบปลาที่ไม่ใช่สีแดง 3 ตัว จากปลาที่ไม่ใช่สีแดง 13 ? 10 ตัว
จำนวนวิธีเท่ากับ $\binom{13 - 10}{3}$
เนื่องจากงานที่ 1 และ 2 เป็นงานที่ต่อเนื่องกัน จำนวนวิธีจึงเท่ากับ $\binom{10}{2}\cdot \binom{13 - 10}{3}$
จำนวนวิธีในการสุ่มหยิบปลา 5 ตัวจากปลาทั้งหมด 13 ตัวเท่ากับ $\binom{13}{5}$
ความน่าจะเป็นที่ในบ่อจะมีปลา 13 ตัวเท่ากับ $\frac{\binom{10}{2}\cdot \binom{13 - 10}{3}}{\binom{13}{5}}$
ด้วยหลักการทำนองเดียวกัน จะได้ว่า
ความน่าจะเป็นที่ในบ่อปลาจะมีปลา n ตัว เท่ากับ $\frac{\binom{10}{2}\cdot \binom{n - 10}{3}}{\binom{n}{5}}$

ปัญหาของผมคือความน่าจะเป็นที่ในบ่อปลาจะมีปลา 13 รวมกับความน่าจะเป็นที่ในปลามีปลา 14 ตัว บวกกับความน่าจะเป็นในบ่อปลามีปลา 15 ตัว ... จนถึงอนันต์ เกิน 1 ครับซึ่งมันเป็นไปไม่ได้ คำตอบนี้จึงน่าจะผิด ใครพอรู้คำตอบช่วยกันขบคิดฝึกสมองทีครับ ผมรู้สึกแปลกดีเลยนำมาแบ่งปันเพื่อนฝูงครับ

โจทย์แปลกดีครับ
ตัวผมเองมีข้อสังเกต 2 ข้อนะครับ คือ
1. การรวมค่าความน่าจะเป็นให้เท่ากับ 1 นั้น ที่ผมเคยเจอมา จะเป็นโจทย์ที่มีวิธีเดียวกันคือมีจำนวนวิธีเท่ากันตลอด (ตรงตัวส่วนอะครับ) แต่โจทย์นี้จำนวนวิธีเปลี่ยนไป ผมเลยไม่รู้ว่าจะใช้วิธีคิดเหมือนกันหรือปล่าว?
2. ถ้าคิดถูกหลักเเล้วผมว่าผลรวมของความน่าจะเป็นจะต้องได้ 1 ครับ เช่น อาจจะอยู่ในรูป 0.9+0.09+0.009+0.0009 ไปจนถึงอินฟินิตี้ ซึ่งปัดค่าแล้วได้ 1 อะครับ

เลข 25 มาจากไหนครับ คำนวณอย่างไร :confused:

ควรจะเป็น สมมติว่าในบ่อมีปลา 13 ตัว ในจำนวนนี้มีปลาสีแดงที่ถูกปล่อยไป 10 ตัวรวมอยู่ด้วย แล้วสุ่มจับปลา 5 ตัว ความน่าจะเป็นที่จับได้ปลาสีแดง 2 ตัวคือ $\frac{\binom{10}{2}\cdot \binom{13 - 10}{3}}{\binom{13}{5}}$ นะครับ :)
ความน่าจะเป็นที่ในบ่อจะมีปลา 13 ตัวคือ 1 เพราะเป็นเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดมาแล้ว :cool:

[quote=TOP;163113]เลข 25 มาจากไหนครับ คำนวณอย่างไร :confused:
ใช้คอมพิวเตอร์คำนวณมา ประเด็นคืออยากทายว่าในบ่อมีปลากี่ตัว เพียงเพราะได้ข้อมูลอันน้อยนิดที่ได้มา คือผมอยากให้คณิตทำสิ่งที่ไม่น่าเชื่อได้ครับ ผมแต่งหนังสือที่พูดถึงเรื่องนี้ด้วยครับ ลองไปอ่านดูได้ครับ
Link คือ http://www.ebooks.in.th/todsapon ชื่อหนังสือคือ Out maths 1 (http://www.ebooks.in.th/ebook/13559/Out_maths1/)
หรือ https://www.mebmarket.com/index.php?...&Condition=New
ชื่อหนังสือคือ Out maths 1 ( http://www.mebmarket.com/index.php?a...NDoiNDYzNSI7fQ)

ขออภัยครับ เขียนโจทย์ผิด
 

[quote=เอกสิทธิ์;163171] โจทย์ที่ถูกคือ
ถ้าปล่อยปลาสีแดงจำนวน 10 ตัว และปล่อยให้ปลาที่ปล่อยว่ายน้ำไปทั่วสระน้ำ ต่อจากนั้นสุ่มจับปลาขึ้นมา 5 ตัว ปรากฏว่าได้ปลาสีแดง 2 ตัว ถามว่าในสระน้ำมีปลากี่ตัว ประมาณได้ว่ามีปลาอยู่ 25 ตัว แต่ปัญหาคือไม่จำเป็นที่จะต้องมีปลา 25 ตัวก็ได้ จำนวนปลาในสระน้ำที่แน่นอนคือ 13 ตัวเป็นอย่างน้อย (ถูกจับขึ้นมา 5 ตัว อย่างน้อย ๆ ในสระน้ำจะต้องเหลือปลาสีแดง 8 ตัว (ถูกจับขึ้นมา 2 ตัว หลักจากปล่อยไป 10 ตัว) รวมเป็น 13 ตัวเป็นอย่างน้อย) อาจจะเป็นกี่ตัวก็ได้ตั้งแต่ 13 ตัวขึ้นไป อาจจะมีเป็น 100 ตัวเลยก็ว่าได้ แต่โอกาสค่อนข้างน้อย

ผมอยากทราบว่าความน่าจะเป็นที่ในบ่อจะมีปลา n ตัวมีค่าเท่าใด

มิน่าทำไมไม่มีคนมาตอบเลย

อันนี้เงื่อนไขไม่ได้กำหนดครับ ที่เกิดขึ้นแน่นอนคือสุ่มหยิบได้ปลาสีแดง 2 ตัว จากการสุ่มหยิบปลา 5 ตัวครับ

ถ้าเงื่อนไขไม่ได้กำหนดแล้ว เลข 13 ในความน่าจะเป็นนี้มาจากไหนครับ :confused:

ถ้าปล่อยปลาสีแดงจำนวน 10 ตัว และปล่อยให้ปลาที่ปล่อยว่ายน้ำไปทั่วสระน้ำ ต่อจากนั้นสุ่มจับปลาขึ้นมา 5 ตัว ปรากฏว่าได้ปลาสีแดง 2 ตัว ถามว่าในสระน้ำมีปลากี่ตัว ประมาณได้ว่ามีปลาอยู่ 25 ตัว แต่ปัญหาคือไม่จำเป็นที่จะต้องมีปลา 25 ตัวก็ได้ จำนวนปลาในสระน้ำที่แน่นอนคือ 13 ตัวเป็นอย่างน้อย (ถูกจับขึ้นมา 5 ตัว อย่างน้อย ๆ ในสระน้ำจะต้องเหลือปลาสีแดง 8 ตัว (ถูกจับขึ้นมา 2 ตัว หลักจากปล่อยไป 10 ตัว) รวมเป็น 13 ตัวเป็นอย่างน้อย) อาจจะเป็นกี่ตัวก็ได้ตั้งแต่ 13 ตัวขึ้นไป อาจจะมีเป็น 100 ตัวเลยก็ว่าได้ แต่โอกาสค่อนข้างน้อย

เนื่องจากสุ่มจับปลา 5 ตัวได้ปลาสีแดง 2 ตัว จึงเดาอย่างมีเหตุผลว่ามีปลาสึแดง 2/5
เนื่องจากปล่อยปลาสีแดงลงไป 10 ตัว ในบ่อจึงมีปลาสีแดง 10 ตัว (คิดว่าเริ่มแรกไม่มึปลาสีแดงอยู่เลย)
สรุปว่ามีปลาทั้งหมด 25 ตัวด้วยประการนี้เอง

ไม่ได้สงสัยตัวโจทย์ครับ สงสัยตอนอธิบายว่าทำไมจึงสรุปได้แบบนี้ครับ :confused:

ขอบคุณสำหรับที่มาครับ :)

อาจจะมองไม่เห็นภาพ :)

ลองพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ เช่น การสุ่มหยิบไพ่ 1 ใบออกมาจากสำรับ
ให้
U = ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ไพ่เลข 2 เมื่อหน้าไพ่ที่หยิบออกมาเป็นรูปหัวใจ
V = ความน่าจะเป็นที่หยิบได้หน้าไพ่รูปหัวใจ เมื่อไพ่ที่หยิบออกมาเป็นไพ่เลข 2
W = ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ไพ่เลข 2 และหน้าไพ่เป็นรูปหัวใจ

ผลลัพธ์สุดท้ายใน U, V และ W คือหยิบได้ไพ่เลข 2 และมีหน้าไพ่เป็นรูปหัวใจทั้งสิ้น
แต่ถามว่า U, V และ W เหมือนกันไหม มีค่าเท่ากันไหม :rolleyes:

ในทำนองเดียวกัน
ให้
R = ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มจับปลา 5 ตัว แล้วได้ปลาสีแดง 2 ตัว เมื่อ มีปลาในบ่อทั้งหมด 13 ตัว (เป็นปลาสีแดง 10 ตัว)
S = ความน่าจะเป็นที่มีปลาในบ่อทั้งหมด 13 ตัว (เป็นปลาสีแดง 10 ตัว) เมื่อ สุ่มจับปลา 5 ตัว แล้วได้ปลาสีแดง 2 ตัว

ถามว่า R และ S เหมือนกันไหม มีค่าเท่ากันไหม :rolleyes:

u=1/13
V=1/4
W=1/52