จุดบนระนาบ
 

มีจุด 2557 จุดบนระนาบ ซึ่งมีสมบัติว่า ทุกๆ 3 จุดใดๆจะมีอีก 1 จุด ที่ทำให้ 4 จุดนี้ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมได้เสมอ
จงพิสูจน์ว่า 2557 จุดนี้อยู่บนวงกลมเดียวกัน

ใช้ไอเดียประมาณนี้ได้มั้ย แทนที่จะพิสูจน์แบบวงกลมก็พิสูจน์แบบเส้นตรงไป

ให้ $a_{i}$ ที่ $1 \leq i \leq n$ เป็นจุดบนระนาบ $n$ จุด ถ้าทุกๆ 3 จุดใดๆที่พิจารณาจะมีอีก 1 จุด
ที่ทำให้จุดทั้ง 4 อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จงพิสูจน์ว่า ทุกจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

พิสูจน์ข้างบนแบบอุปนัย

จากนั้นก็ใช้ไอเดียของ 1-1 ทั่วถึง สร้างฟังก์ชันส่งจุดบนเส้นตรงไปเป็นจุดบนวงกลม

ปล.ผมยังทำไม่หลุดนะ ถ้าหลุดแล้วก็โพสต์วิธีทำให้ดูหน่อยนะ :rolleyes:

ถ้าทำเป็นแบบเส้นตรง ลองเปลี่ยนเงื่อนไขดูหน่อยไหมครับ
ทุก 2 จุด จะมีจุดที่ 3 ที่อยู่บนเส้นเดียวกัน แล้วพิสูจน์ว่าทุกจุดอยู่บนเส้นเดียวกัน
// น่าจะยากพอๆกับโจทย์ที่แล้ว ปล. ผมก็ยังทำไม่หลุดนะ

จริงๆ ถ้าเปลี่ยนเงื่อนไข จะเหมือนทฤษฎีนี้เลยครับ
http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvest...Gallai_theorem
อาจจะเอาไปทำต่อได้

ผมคิดว่าน่าจะต้องใช้หลักการง่ายๆ ที่ว่า "สามเหลี่ยมทุกรูปต้องมีวงกลมล้อมรอบ 1 วงเสมอ" แต่คิดไม่ออกว่าจะทำอย่างไร

ย่อๆนะครับ

สร้างวงกลมที่ใหญ่รัศมี R มากครอบ 2557 จุดนี้ และให้ 1 ใน 2557 จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางคือ O และที่เหลือคือ $A_1,A_2,...,A_{2556}$

สร้าง $A_i'$ โดยที่ $A_i'$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกับ $A_iO$ แต่อยู่ใกล้ $A_i$ มากกว่า O และ $(OA_i)(OA_i')=R^2$

ดู $OA_iA_jA_k$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน ดังนั้น $A_i',A_j',A_k'$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

เลยได้ว่าระบบของ $A_i'$ ทั้งหมดคือ ทุก 2 จุดจะมีอีกจุดที่ทำให้ 3จุดนี้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ซึ่งจะได้ว่าทั้ง 2556 จุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (พิสูจน์เอง)

พอ 2556 จุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ก็ย้อนกลับมาที่ $A_i$ จะอยู่บนวงกลมเดียวกัน

เป็นการใช้ inversion ได้งดงามมากครับ :great:

ปล. โจทย์สวนกุหลาบ ข้อ $n^p+3^p$ กับข้อระบบสมการ congruence

2 ข้อนี้เคลียร์หรือยังครับ นับจากวันโน้นผมยังไม่ได้คิดต่อเลย ไม่มีเวลา :nooo:

นึกออกแต่ข้อ $n^p+3^p$ ครับ ยังไม่เคลียร์

อีกข้อนึงผมนึกไม่ออกว่าข้อไหน แต่เหมือนข้ออื่นน่าจะเคลียร์หมดนะครับ

หัวข้อกว้างจัง มันก็คือกราฟนั่นเอง คณิตศาสตร์บัญญัติไว้เป็นตำรา เพื่อให้ผู้คนศึกษา และ สอบ คัดเลือกเข้าทำงาน ทั่วโลก

ระบบใดๆ ตีพิมพ์ไว้ เพื่อการสื่อสารในกลุ่ม หรือ ระหว่างกลุ่ม เพื่อความเป็นอันหนึ่งอันเดียวกัน

การสอบแข่งขัน เป็นการวัดความจำ โอกาศในสังคม ของผู้เข้าสอบ

การนับแบบ คือ คำที่รุ่นพี่เราฝากไว้ สำหรับวิชา คอมบินาทอริก นี้ พื้นฐานนี้ใช้สร้างสารบัญโดยนัยของวิชานี้