Proof ทฤษฎีจำนวน ให้หน่อย
 

1.จงพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนเต็ม k ใดๆ 21k+4 และ 14k+3 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพันธ์กัน
2.ถ้า a,b เป็นจำนวนเฉพาะสะมพันธ์กัน จงพิสูจน์ว่า
(aⁿ , bⁿ) = 1 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n
(a-b,ab)=1
(a-b,a+b)= 1 or 2
3.ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็ม จงพิสูจน์ว่า
ถ้า (a,b)=1 และ (a,c)=1 แล้ว (a,bc)=1
ถ้า (a,b)=1 และ c| a+b แล้ว (a,c)=1 and (b,c)=1

4. จงหาว่า 100! มี 0 กี่ตัว
5. จงหาว่า จำนวนเตมบวก k ที่มากที่สุดที่ทำให้ 30^k|100! มีค่าเท่ากับเท่าใด
6. จงพิสูจน์ว่ากำลัง2ของจำนวนเต็มใดๆจะต้องหารด้วย7ลงตัว หรือ หารด้วย7แล้วเหลือเศษ1
7. พิสูจน์
8|[n²-1]
6 |[n²+5]
7.จงหาจำนวนนับ n ที่น้อยที่สุดดซึ่ง 2541|n! ข้อนี้ตอบ 22! อ๊ะเปล่า

ขอใจร้ายละวิธีทำบางข้อละกัน...

1.จงพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนเต็ม k ใดๆ 21k+4 และ 14k+3 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพันธ์กัน
(21k+4,14k+3)=(7k+1,2(7k+1)+1)=1

2.ถ้า a,b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพันธ์กัน จงพิสูจน์ว่า
(aⁿ , bⁿ) = 1 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n
(a-b,ab)=1
(a-b,a+b)= 1 or 2
(ใช้นิยามของ ห.ร.ม. และข้อสาม)

3.ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็ม จงพิสูจน์ว่า
ถ้า (a,b)=1 และ (a,c)=1 แล้ว (a,bc)=1
ถ้า (a,b)=1 และ c|(a+b) แล้ว (a,c)=1 and (b,c)=1

4. จงหาว่า 100! มี 0 กี่ตัว
5. จงหาว่า จำนวนเต็มบวก k ที่มากที่สุดที่ทำให้ 30^k|100! มีค่าเท่ากับเท่าใด
สองข้อนี้ แนะนำให้นับว่า 100! มี 5 ทั้งหมดกี่ตัวครับ

6. จงพิสูจน์ว่ากำลัง2ของจำนวนเต็มใดๆจะต้องหารด้วย7ลงตัว หรือ หารด้วย7แล้วเหลือเศษ1
ตัวอย่างค้าน: 81 หารด้วย 7 เหลือเศษ 4

7. พิสูจน์
8|[n²-1] (ตัวอย่างค้าน: 15=4²-1 หารด้วย 8 ไม่ลงตัว)
6|[n²+5] (ตัวอย่างค้าน: 21=4²+5 หารด้วย 6 ไม่ลงตัว)

8.จงหาจำนวนนับ n ที่น้อยที่สุดดซึ่ง 2541|n! ข้อนี้ตอบ 22! อ๊ะเปล่า
ใช่แล้วครับ

ป.ล. Proof เป็นคำนามหรือ adjective ครับ ในกรณีนี้น่าจะใช้ prove ซึ่งเป็นคำกริยามากกว่า

อยากได้ prove โดยวิธี อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ วิธีที่2 มากกว่าอ่ะค่ะ
[second method of proof by mathematical induction]

เอาที่ยังไม่ได้แสดงละกัน (เห็นว่าง่ายละสิ :P)

2. เนื่องจาก gcd(a, b) = 1 --> ไม่มีจำนวนเฉพาะตัวใดที่หาร a และ b ลงตัวพร้อมกัน

2.1
ถ้า p หาร a ลงตัว --> p จะหาร b ไม่ลงตัว --> p หาร bⁿ ไม่ลงตัว --> gcd(a, bⁿ) = 1
ให้ c = bⁿ เราจะรู้ว่า gcd(c, a) = 1 ซึ่งคิดแบบเดิมจะทำให้สามารถสรุปได้ว่า
gcd(c, aⁿ) = gcd(aⁿ, bⁿ) = 1

2.2
จาก gcd(a, b) = gcd(a - b, b) = gcd(a - b, a) = 1
ถ้า p หาร a - b ลงตัว --> p จะหาร a และ b ไม่ลงตัว --> p หาร ab ไม่ลงตัว
ถ้า p หาร ab ลงตัว --> แปลว่า p หาร a หรือ b ลงตัว --> ซึ่งจะทำให้ p หาร a - b ไม่ลงตัว
สรุปได้ว่า ไม่มีจำนวนเฉพาะ p ที่หาร ab และ a - b ลงตัว --> gcd(a - b, ab) = 1

2.3
gcd(a + b, a - b) = gcd((a + b) - (a - b), a - b) = gcd(2b, a - b)
เนื่องจาก gcd(a - b, b) = 1 --> ไม่มีจำนวนเฉพาะ p ที่หารทั้ง b และ a - b ลงตัว
แต่ 2 หาร 2b ลงตัว และอาจจะหาร a - b ลงตัว
- ถ้า a - b เป็นเลขคู่ --> gcd(2b, a - b) = 2
- ถ้า a - b เป็นเลขคี่ --> gcd(2b, a - b) = 1
เนื่องจาก gcd(a + b, a - b) = gcd(2b, a - b) --> gcd(a + b, a - b) = 1 หรือ 2

3. a, b, c เป็นจำนวนเต็ม และ gcd(a, b) = 1 --> ไม่มีจำนวนเฉพาะที่หาร a และ b ลงตัว

3.1 (a, c) = 1 --> ไม่มีจำนวนเฉพาะที่หาร a และ c ลงตัว
แปลว่า ถ้า p หาร a ลงตัว --> p จะหาร b และ c ไม่ลงตัว
ในทางกลับกัน ถ้า p หาร bc ลงตัว --> p ต้องหาร b หรือ c ลงตัว (อาจจะลงตัวทั้งคู่ก็ได้) --> p จึงหาร a ไม่ลงตัว
ดังนั้น ไม่มีจำนวนเฉพาะที่หาร a และ bc ลงตัว --> gcd(a, bc) = 1

3.2 c | a + b --> kc = a + b เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม
gcd(a, kc) = gcd(a, a + b) = gcd(a, b) = 1 --> ดังนั้น gcd(a, c) = 1
gcd(kc, b) = gcd(a + b, b) = gcd(a, b) = 1 --> ดังนั้น gcd(c, b) = 1

4. ให้ N(x) = จำนวนเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 ที่ x หารลงตัว
เลข 0 ที่ต่อท้าย เกิดจากการคูณด้วย 10 = 2 x 5
จำนวนเลข 5 ใน 100! = N(5) + N(25) = 20 + 4
จำนวนเลข 2 ใน 100! = N(2) + N(4) + N(8) + N(16) + N(32) + N(64) = 50 + 25 + ... ไม่ต้องสนใจ เพราะเยอะกว่าจำนวนเลข 5 แล้ว
\มีเลข 0 อยู่ 24 ตัว

5. จาก 30 = 2 x 3 x 5 ดังนั้น 30^k = 2^k x 3^k x 5^k
จำนวนเลข 5 ใน 100! = 24 ... คิดไปแล้ว
จำนวนเลข 3 ใน 100! = N(3) + N(27) + N(81) = 33 + 3 + 1 > 24
ดังนั้น ... ตอบ 24 เหมือนข้อที่แล้ว

อุปนัยวิธีที่สองเนี่ย ... มันคืออะไรหรอ? (ไม่เคยได้ยินใครตั้งชื่อวิธีว่า "ที่สอง")

น้องเขาคงหมายถึง Strong Induction น่ะครับ :)