โจทย์ความน่าจะเป็น PAT1
 

ให้ n เป็นจำนวนนับ สุ่มหยิบจำนวน n จำนวนพร้อมกัน ใน {1,2,3,...,2n}
ความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนคู่ทั้งหมดคือ 1/20
หาความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนคู่ตัวเดียวเป็นเท่าไร


--------------------------------------
อ่อ ขอบคุนสำหรับคำตอบครับ ^^

ถ้าผมเข้าใจโจทย์ไม่ผิด จะได้ื $n=3$ และความน่าจะเป็นก็จะเท่ากับ $\frac{9}{20} $

ผมแสดงวิธีทำให้ดูเลยละกันแต่ใช้หลักการเดาด้วยนะครับ

จำนวนคู่ทั้งหมดจะเกิดได้กรณีเดียวเท่านั้น เพราะ มีจำนวนสมาชิกใน {1,2,3,...,2n}
มี 2n ตัว จะได้ว่า มีจำนวนคู่ = n แล้วเราเลือก มา n จึงทำให้ได้จำนวนคู่หมด จึงได้กรณีเดียว

จะเห็นว่า ความน่าจะเป็นมีเศษ 1 จึงทำให้เป็นเศษส่วนแท้โดยปริยาย ความน่าจะเป็นที่โจทย์ให้มา
จึงเป็นเศษส่วนที่ไม่ได้ถูกตัดทอนมาก่อน เพราะฉะนั้น n(S) = 20

ใช้ n
$\ \ \ \ C_r$ = $\ \frac{n}{r!(n-r)!}$
จะได้ มี 2n เลือกมา n
$\ \ $ n
$\ \ \ \ C_r$ = $\ \frac{2n}{n!(2n-n)!}$

ถ้ามัวแต่ไปเสียเวลาตั้งสมการผมว่ามันเสียเวลา เพราะ ไล่แทนค่าจะไวกว่า เพราะ n(S) เกิดแค่ 20 แบบ
โดยตัวเลขที่นำมาแทนต้องเป็นจำนวน ที่ทำให้ 2n เป็นจำนวนคู่ และ $\frac{2n}{2}$ เป็นจำนวนเต็ม
เพราะถ้า $\frac{2n}{2}$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม จะทำให้ n เป็นทศนิยม จะทำให้ n กรณีนั้นใช้ไม่ได้

หลังจากลองแทนแล้วได้ n=3 จึงได้ว่า 2n = 6 เซตจำนวนที่โจทย์ให้ คือ {1,2,3,4,5,6}
กรณีที่ สุ่มมา n=3 แล้วได้เลขคู่ตัวเดียวเกิดขึ้นได้ 9 วิธี ได้แก่
2,1,3
2,3,5
2,5,1
4,1,3
4,3,5
4,5,1
6,1,3
6,3,5
6,5,1
เพราะฉะนั้น $P(E)=\frac{9}{20}$

ป.ล.ข้อนี้ใช้ความรู้หลากหลายนะ ทั้งทฤษฎี การสังเกต ...
ป.ล.2 พี่มิว(จขกท)โอมคิดออกแล้ว 555+

จากโจทย์มี $2n$ จำนวน สุ่มมาทีละ $n$ จะได้จำนวนวิธี $=\frac{2n!}{n!n!}$

และให้ความน่าจะเป็นที่สุ่มมาแล้วได้เป็นจำนวนคู่ทั้งหมด $=\frac{1}{20}$

แต่เหตุการณ์ที่จะเกิด n จำนวนแล้วเป็นคู่ทั้งหมดมีแค่กรณีเดียว

ดังนั้น $\frac{2n!}{n!n!}=20\Rightarrow n=3$

ดังนั้น สุ่มมา 3จำนวน แล้วได้เป็นคู่จำนวนเดียว มีทั้งหมด $=\binom{3}{1} \binom{3}{2}=9$ วิธี

คิดเป็นความน่าจะเป็น $=\frac{9}{20}$ เป็นคำตอบ