สมการพหุนาม
 

ถ้าคำตอบที้งสามของสมการ $x^3-8x^2+cx+d=0$ เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันและผลบวกของคำตอบเท่ากับ 8เมื่อ c,d เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว c+d มีค่าเท่าใด ขอคำแนะนำด้วยครับ

ผมสมมติให้สมการเป็น $x^3-8x^2+12x+0=0$ ซึ่งสอดครล้อง จะได้ c+d=12 แต่อาจจะมีคำตอบอื่นอีกนะครับ

d เป็นจำนวนจริงบวก ที่ยกตัวอย่างมา d=0 ใช้ได้หรือครับ

จริงด้วยสินะครับ ลืมๆๆ เอาใหม่ครับ เขาบวกว่ารากรวมกันได้ 8 ผมก็สุ่มตัวเลขขึ้นมาแบบนี้อ่ะครับ
$(x-1)(x-3)(x-4)=x^3-8x^2+19x-12=0$ จะได้ c+d =7 ใช่หรือไม่ครับ

จากโจทย์กำหนดว่าคำตอบเป็นจำนวนเต็มดังนั้น

$x^3-8x^2+cx+d \ สามารถแยกตัวประกอบเป็น \ ( \ x \ - \ m \ )( \ x \ - \ n \ )( \ x \ - \ o \ )$

โดยที่ m + n + o = 8 เราก็จับจำนวนเต็มที่บวกกันได้ 8 มาลงแล้วก็กระจายเข้าไปก็ได้คำตอบครับ

และจาก c และ d เป็นจำนวนจริงบวกดังนั้น

ถ้ารากจะเป็นค่าลบก็ต้องมี 2 ตัวจาก 3 ตัว

และจากเท่าที่ดู คำตอบมีเป็นอนัต์นะเนี่ย:died:

ไม่แน่ใจเหมือนกัน

จริงด้วยครับ แงๆๆๆๆ ผมเบลอไปอีกแล้วววว กำ

ขอบคุณมากครับ สรุป มีคำตอบมากมาย

ถ้า c,d เป็นบวก ตัดกรณี รากลบ2ตัวจาก3ตัวไปได้เลยครับ

สังเกตว่ามีการสลับเครื่องหมายจาก + ไป - และ - ไป + 2 ครั้งแสดงว่ามีรากที่เป็นบวกไม่เกิน2ตัว

(ที่ใช้คำว่าไม่เกิน2เพราะอาจจะเป็น จ.เชิงซ้อน ได้สำหรับกรณีอื่นแต่ยังไงก็ไม่ใช่รากลบ2รากแน่นอน)

จริงด้วยครับ ผมลืมไปสนิทเลย

งั้นตามที่คุณ t.b. บอกแสดงว่ารากต้องเป็นจำนวนลบ 1 ตัวที่เหลือเป็นจำนวนบวกเท่านั้น

เพราะกรณีอื่น ไม่สอดคล้องทั้งหมด

แต่เราจะหาค่า c+d ได้อย่างไร??

ผมยังติดตรงนี้ครับ

ลอง แทน x=1 ดูซิครับ
แล้วจะได้ค่า c+d
(ไม่รู้จะถูกหรือป่าวนะคับ)

c+d มีหลายค่าอยู่ครับ แต่คิดว่าคงไม่ถึงอนันต์ค่า

แต่ผมว่าถึงนะครับ

เพราะ เราสามารถหา $จำนวนเต็ม$ บวก 2 จำนวน กับ ลบ อีก 1 จำนวน

ที่สามารถบวกกันแล้วได้ 8 คระบ

นี่ยังไม่นับพวกทศนิยม รูทอะไรต่างๆ

ผมว่ามันมีมากมายมหาศาลเลยทีเดียวครับ

ให้รากทั้งสามเป็น $p,q,r$
จาก $d>0$ ได้ว่า $pqr<0$ แบ่งได้ 2 กรณีคือรากทั้งสามน้อยกว่า 0 หรือ มีรากตัวเดียวที่น้อยกว่า 0
สมมติว่า $p,q,r<0$ ทั้งหมด จะได้ $p+q+r<0<8$ เกิดข้อขัดแย้งกับที่ $p+q+r=8$

ดังนั้นมีรากตัวเดียวที่น้อยกว่า 0

พิจารณา $64=(p+q+r)^2=(p^2+q^2+r^2)+2(pq+qr+rp)$
$\therefore c=pq+qr+rp=\frac{64-(p^2+q^2+r^2)}{2}>0$ ($\because c=pq+qr+rp>0$)
นั่นคือ $p^2+q^2+r^2<64$
ที่เหลือก็ไล่ไปเรื่อยๆละครับ ได้ยังไงก็ตามนั้น สังเกตว่า $p,q,r$ เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด (ตามที่โจทย์กำหนด) แล้วก็เห็นชัดๆว่าค่าสัมบูรณ์ของทั้งสามตัวนี้มีค่าน้อยกว่า 8 ยังไงก็ไล่ไม่มากหรอกครับ

จากสมการ $$x^3-8x^2+cx+d = 0 (สมมุติให้ X เท่ากับ 1)$$
จะได้ $$1(1)^3-8(1)^2+c(1)+d = 0$$
$$1-8+c+d = 0$$
$$-7+c+d = 0$$
$$c+d = 7$$
:)ถูกหรือเปล่าค่ะ หนูแค่ลองมั่วๆน่ะค่ะ

พอดีข้อนี้มั่วแบบนี้ไม่ได้ครับ เพราะ 1 ไม่ใช่รากของคำตอบของข้อนี้