โจทย์อัตราส่วน ช่วยคิดทีครับ
 

ขอวิธีทำด้วยนะคร้าบ

จุด C อยู่ตรงไหนครับ (มองไม่ออก)

จุดตัดของเส้นตรง 2 เส้น ครับ

Hint : เส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุดสัมผัสของวงกลมทั้งสามคู่จะตัดกันที่จุดเดียว(สมมุติให้เป็นจุด P)
และจะพบว่า มุมPAO, มุมPBO และมุมPCO เป็นมุมฉาก เมื่อเราวาดรูปวงกลมที่มี POเป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง
เราจะพบว่าจุดA, จุดB และจุดC อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมนี้ด้วย (ลองดูรูปข้างล่างประกอบ)
Attachment 876

อันที่จริงผมว่า เจ้าของกระทู้น่าจะลอกมาผิดนะครับ :huh: (ถ้าไม่ตรงก็ขออภัยด้วย เป็นความคิดเห็นส่วนตัว)
เพราะโจทย์ไม่น่าจะให้คำตอบเป็นแบบนี้
ถ้าตอบแบบนี้น่าจะให้เป็น $a,b,c$ มาเลยมากกว่าที่จะเป็นตัวเลข :)

อันที่จริงโจทย์ข้อนี้ผมเอามาจากหนังเรื่อง L change world ภาคล่าสุดคับ
และข้อนี้ ใช้การลากเส้นต่อเช่นเดียวกับคุณ Puriwatt แล้วใช้กฎของสามเหลี่ยมคล้าย
แต่ผมไม่รู้วิธีทำครับ ถ้าใครคิดได้ก็ช่วยทีนะคร้าบ ( ข้อนี้ตอบ AO : OC = 13 : 11 )

คำตอบเดียวกันเสียด้วย ( AO : OC = 13 : 11 = 1.182 )
ที่ผมใช้กฏของcosine เพราะมันง่ายดีและมีเครื่องคิดเลข (แบบว่ามักง่ายนะ) :kaka:
ได้รู้ที่มาอย่างนี้ ทำให้ชักอยากจะดู หนังเรื่อง L change world ภาคล่าสุด ซะแล้วละซิ
แบบว่าซื้อมาแล้ว แต่ยังไม่ได้ดูอะครับ :yum:

ยังไม่ได้ดูหนังเรื่อง L change world แต่คิดออกแล้วครับ
จากรูปด้านบน x = y+z และ มุมACB = 180 -(x+y+z) = (180 - 2x)
ดังนั้น $cos (180 - 2x) = - cos (2x) = \frac {(25^2 + 3^2 - 26^2)}{ 2(25)(3) } = - \frac {7}{25}$
แต่ $cos2x = 1 - 2 sin^2x = \frac {7}{25}$ --> ดังนั้น $sinx = \frac {3}{5} $ --> และ $cosx = \frac {4}{5} $

จากรูปด้านบน มุมABC = x+y แล้วใช้กฏของ cosine --> ได้ $cos (x+y) = \frac {(26^2 + 3^2 - 25^2)}{ 2(26)(3) } = \frac {5}{13}$ ---(1)

จากรูปด้านบน มุมฺBAC = z แล้วใช้กฏของ cosine --> ได้ $cos (z) = \frac {(26^2 + 25^2 - 3^2)}{ 2(26)(3) } = \frac {323}{325}$ ---(2)

นำสมการ (2)-(1) = $cos (z)-cos (x+y) = 2sin \frac {(x+y+z)}{2} \cdot sin \frac {(x+y-z)}{2} = \frac {198}{325}$

แต่ x+y+z = x+(x) = 2x และ x+y-z = (y+z)+y-z = 2y
--> ดังนั้น $cos (z)-cos (x+y) = 2sinx\cdot siny = \frac {198}{325}$

แทนค่า $sinx = \frac {3}{5} $ลงในสมการด้านบน --> จะได้$siny = \frac {198}{325}\div \frac {2(3)}{5} = \frac {33}{25}$

ดังนั้น $AO:OC = sinx : siny = \frac {3}{5}:\frac {33}{65}$ = 13 : 11 = 1.182 ตอบ

ขอบคุณมากคับ

มีวิธี pure เรขาคณิตหรือเปล่้าครับ :please:

Hint นี้เป็นจุดเริ่มต้นที่ดีของการทำโจทย์ข้อนี้เลยนะครับเนี่ย :great:

ผมเพิ่งได้ดู L change the world (ภาค VCD) เมื่อไม่กี่วันมานี้เองครับ แล้วก็เลยนึกถึงกระทู้นี้ขึ้นมา

ผมมีอีก solution ครับ ซึ่งต่อยอดมาจาก hint ของคุณ Puriwatt (ไม่แน่ใจว่าจะเป็น pure เรขา ตามแบบที่น้อง Anonymous314 ต้องการหรือเปล่า)

จากรูป original ลากเส้นสัมผัสไปตัดกันที่ P ตามที่ hint บอกไว้ครับ

เราจะได้ A,O,C,B,P อยู่บนวงกลมที่มี OP เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง

จากนั้นใช้ PTOLEMY'S THEOREM กับ cyclic PACB, PAOB, POCB แล้วแทนค่าด้านของสามเหลี่ยม ABC เข้าไป ประกอบกับข้อเท็จจริงที่ว่า PA= PB, OA=OB

จะได้สมการ

$(28)(PA) = (26)(PC) \cdots(1) $
$(OA)(PA)= (13)(OP) \cdots (2) $

$(3)(OP)+(OC)(PA)=(OA)(PC) \Rightarrow \frac{3(OP)}{(OA)(PA)}+\frac{OC}{OA}=\frac{PC}{PA} \cdots(3)$

แทนค่า (1), (2) ลงใน (3) จะได้ $ \frac{OC}{OA}= \frac{14-3}{13} =\frac{11}{13} $

ซึ่งก็ตรงกับที่เด็กผู้ชายในหนัง ตะโกนไว้ตอนทดเลขบนกระดานเสร็จนั่นเองครับ

p.s. ใครที่ได้ดูหนังเรื่องนี้แล้ว คงจะรู้ว่าโจทย์ข้อนี้ เป็นกุญแจสำคัญในการสร้างยาต้านไวรัสเลยล่ะครับ

เอ่อ.. แล้วเราจะมีวิธีเช็กยังไงครับ ว่าทั้ง4จุดนั้นลากมา ให้มันจะตัดกันที่จุดเดียว แล้วจะสร้างเป็นวงกลมได้ จากที่คุณ Puriwatt ว่าต้องลองวาดรูปแล้วใช้วงเวียนจุดไว้ที่ P แล้วลากเอา ถึงรู้ได้ว่ามันเป็นวงเดียวกัน(ผมเข้าใจถูกรึเปล่า?) ถ้าใช่มีวิธีพิสูจน์แบบอื่นมั้ยครับว่าทั้ง4จุดอยู่บนวงกลมเดียวกันได้

ตอนนี้ผมได้เพิ่มจุด Q ลงในรูป เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นแล้วครับ

1. ซึ่งจะได้ว่า PA = PB = PQ (ลองไล่ดูทีละคู่ ความยาวของเส้นสัมผัสจากจุดภายนอกมายังจุดสัมผัสมีค่าเท่ากัน)

2. ลองใช้ PO เป็นเส้นหลัก พบว่า มุมPAO, มุมPBO และมุมPCO เป็นมุมฉาก
แสดงว่าส่วนของเส้นตรงPO เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมทั้งสามรูป
โดยมีจุด A, B, C, P และจุดO อยู่บนเส้นรอบวง และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกึ่งกลางระหว่างจุด P กับจุด O

ผมคิดว่าคนเก่งอย่างคุณ t.B. น่าจะเข้าใจได้ไม่ยากนะครับ

ขอบคุณ คุณ Puriwatt มากครับ ผมลืมดูโจทย์ไปว่า เส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุด C ตั้งฉากกับเส้นผ่านศก. ก็เลยงง:sweat:

ลองคิดต่อดูนะครับ ว่า

ถ้าวงกลม 2 วงข้างในยังคงสัมผัสกับวงกลม O เช่นเดิม โดยเพิ่มเงื่อนไขที่ว่าวงกลมข้างใน เกิดตัดกัน ได้คอร์ดร่วม XY แล้ว คอร์ดร่วม XY และเส้นสัมผัสที่ A,B จะยังคงตัดกันที่จุดเดียวหรือไม่ (ไม่สนใจเส้นตั้งฉากที่ C ทั้ง 2 เส้น)

p.s. ผมว่าสมการ PA=PB=PQ อย่างเดียวไม่เพียงพอจะอธิบายว่า เส้นสัมผัสที่ A,B,Q ไปตัดกันที่จุดๆเดียวนะครับ