ปัญหาคอมบินาทอริก 1
ขอบอกที่มาของปัญหานี้ก่อนนะครับ
ผมสงสัยว่า จำนวนคู่อันดับ $\left(w,x,y,z\right)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เมื่อ $w,x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $1\leqslant w\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 10$ เป็นเท่าไหร่ ซึ่งผมก็ได้คำตอบแล้วแหละว่าเป็น $715$ คู่อันดับ (จากการรันโปรแกรมอะนะ) และก็ลองเปลี่ยนเงื่อนไขดูซึ่งก็มีแบบรูปที่น่าสนใจ ปัญหา จงพิสูจน์ว่า จำนวนคู่อันดับ $\left(x_1,x_2,...,x_k\right)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เมื่อ $x_1,x_2,...,x_k$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $1\leqslant x_1\leqslant x_2\leqslant ...\leqslant x_k\leqslant n$ เท่ากับ $\binom{n+k-1}{k} $ คู่อันดับ |
ถ้าเราให้
$a_1$ แทนจำนวนของ $x$ ที่มีค่าเป็น 1 $a_2$ แทนจำนวนของ $x$ ที่มีค่าเป็น 2 ... $a_n$ แทนจำนวนของ $x$ ที่มีค่าเป็น n จะได้ว่าเราต้องการจำนวนวิธีที่ $a_1+a_2+...+a_n=k, a_i\geqslant 0$ ใช้ stars and bars ได้จำนวนวิธี $= \binom{k+n-1}{n-1}=\binom{n+k-1}{k} $ ใช้ได้รึเปล่าครับ |
อ้างอิง:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:39 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha