ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ (อสมการ)
 

ให้ $0<x\leqslant 1$ และ $n \in \mathbb{N}$ จงพิสูจน์ว่า $$1 \leq \frac{1+nx^{n+1}}{(n+1)x^n} \leq 1+\frac{n(1-x)^2}{2x^n}$$
ขอบคุณครับ :please:

$0<x\geq1$?
ฝั่งซ้าย ชัดเจนโดย AM-GM
ฝั่งขวา กระจาย ได้ว่าจะต้องพิสูจน์
$2+2nx^{n+1}\leq 2(n+1)x^n+n(n+1)(1-x)^2$
หาก $n=1$ ได้ว่าอสมการเป็นสมการ
ต่อไป หาก $n\geq 2$
ให้ $P(x)=2+2nx^{n+1}-(2(n+1)x^n+n(n+1)(1-x)^2)$ ได้ว่าต้องแสดงว่า $P(x)\leq 0$
ได้ว่า $P'(x)=2n(n+1)(x-1)^2(x^{n-2}+x^{n-3}+...+1)\geq0;\forall x\in\mathbb{R}^{+}$
ดังนั้น $P(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง $(0,1]$ นั่นคือ $P(x)\leq P(1)=0$ ตามต้องการ

ขอบคุณคุณ owlpenguin มากครับ :please:
ว่าแต่ว่าไม่มีวิธีที่ง่ายกว่านี้หรอครับ :sweat:

คือว่า ฝั่งซ้าย AM-GM ยังไงหรอครับ
คือผมทำแบบนี้ครับ
$1 \leq \frac{1+nx^{n+1}}{(n+1)x^n} \Leftrightarrow nx^n(1-x)+(1-x^n) \geq 0$
ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริงครับ

เอ่อ ควรไปถามที่ห้อง ม.ปลายดีกว่านะครับ
เพราะคนใหม่ที่เข้ามาอ่าน อาจจะงง ว่าตัวเองเข้าผิดห้องรึเปล่า -_-

$nx^{n+1}+1=\underbrace{x^{n+1}+x^{n+1}+\cdots+x^{n+1}}_{n ตัว}+1\geq(n+1)(x^{n(n+1)})^{\frac{1}{n+1}}=(n+1)x^n$

ฝั่งขวา คิดว่ามีวิธีอื่นนอกจากนี้ จะลองคิดดูครับ

ขอบคุณคุณ owlpenguin อีกทีนะครับ :happy:

ขอโทษด้วยครับ ตอนแรกไม่คิดว่าจะต้องใช้วิธียากขนาดนี้ :sweat: