*** พิสูจน์อสมการ 2 ข้อนี้ทีครับ ***
 

ลองมาหลายชั่วโมงแล้วครับ จะพิสูจน์ยังไงครับ 2 ข้อนี้ รบกวนด้วยครับ ............

มันเป็นรูปกบแช่แข็งอ่ะครับ

อัพให้แล้วกันนะครับ

ขอบคุณครับ พี่ไล้ ...............

หาเว็บโหลดรูปใหม่ได้แล้วครับ ............

http://www.artofproblemsolving.com/F...?f=51&t=399890
ลองติดตามดูในนี้ดีกว่าครับ น่าจะเร็วกว่าในนี้

เออ...ข้อแรกผมทำแบบนี้นะครับ
From Cauchy inequality
$\sum_{cyc}\sqrt{a}\sqrt{2ab+ac^2}\leq \sqrt{(\sum_{cyc} a)(2\sum_{cyc} ab+\sum_{cyc} a^2b)}$
It remains to prove that
$\sqrt{(\sum_{cyc} a)(2\sum_{cyc} ab+\sum_{cyc} a^2b)}\leq 3\sqrt{3}$
which is equivalent to
$2(\sum_{cyc} ab)(\sum_{cyc} a)+3\sum_{cyc} a^2b\leq (a+b+c)^3$
or
$2\sum_{cyc} a^2b\leq \sum_{cyc} (a^3+ab^2)$
which is true by AM-GM
ส่วนข้อสอง...ถ้าเป็นผมก็คงยัดให้อยู่ในรูปตัวแปรของด้านสามเหลี่ยมก่อนทำแหละครับ...
น่าจะมีวิธีเรขาดีๆั้มั้งครับ...:cry:

คุณคิดว่า S/r=(cotA/2)(cotB/2)(cotC/2)
จะมีประโยชน์อะไรสำหรับการทำข้อนี้มั้ยครับ

แก้ไข
ข้อ 2
จาก S/r=(cotA/2)(cotB/2)(cotC/2)
เปลี่ยนตัวแปรเป็น x=tanA/2 etc.
จะได้ว่า xy+yz+zx=1
normalize แล้วกระจาย ออกโดย Muirhead's Inequality

Exercise 5.4.1
\[\sum_{cyc}a\sqrt{2b+c^2}\le \sqrt{\sum_{cyc}a\sum_{cyc}(2ab+c^2a)}=\sqrt{2\sum_{cyc}a\sum_{cyc}ab+3\sum_{cyc}a^2b}=\sqrt{5\sum_{cyc}a^2b+2\sum_{cyc}ab^2+6ab c}\]
\[\le \sqrt{3\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}(a^3+ab^2)+2\sum_{cyc}ab^2+6abc}=\sqrt{(\sum_{cyc}a)^3}=3\sqrt{3}\]

เหมือนในนั้นยังไม่มีอะไรคืบหน้าเลยนะครับ พี่ไล้ ..................

๑.ลองแปลดูก่อน
๒.ลองแยกตัว ประกอบดู
ผมยังอยู่ป.๔ ผมไม่สามารถแก้โจทย์ได้
ลองแนะนำดูไม่ทราบว่ามีประโยชน์มั๊ยครับ