กรณฑ์
 

ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนตรรกยะที่แตกต่างกัน โดยที่ $\sqrt[3]{3(\sqrt[3]{2} +1)} = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}$ จงหาค่า $abc$

ทำยังไงครับ เป็นโจทย์ของเตรียมอุดมครับ

.......เท่าที่วิเคราะห์ดู ค่า $\sqrt[3]{3(\sqrt[3]{2}+1) } $ แยกเป็นผลบวกของรากที่สามของ a,b,c น่าจะได้ค่า a,b,c ที่มีอย่างน้อยจำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ
.......แต่ถ้าลองเปลี่ยนค่าเป็น $\sqrt[3]{3(\sqrt[3]{2}-1) } $ จะสามารถหาค่า a,b,c ที่เป็นจำนวนตรรกยะได้ทั้งหมด คือ
$$ \sqrt[3]{3(\sqrt[3]{2}-1) }=\sqrt[3]{\frac{1}{3} } +\sqrt[3]{-\frac{2}{3} }+\sqrt[3]{\frac{4}{3} } $$
นอกจากนี้ยังมีเอกลักษณ์ที่คล้ายๆกันอีก ไม่รู้มีใครค้นพบหรือยัง?
$$\sqrt[3]{\frac{3}{2} (\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5} }{2} }+\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5} }{2} }-2) }=\sqrt[3]{cos\frac{2\pi }{5} } +\sqrt[3]{cos\frac{4\pi }{5} }+\sqrt[3]{cos\frac{5\pi }{3} } $$

ทำไมถึงมีอย่างน้อย1ตัวเป็นอตรรกยะครับ

แล้วก็ข้างล่าง สงสัยว่าทำไมต้องทำเป็น $cos\dfrac{5\pi }{3}$ ครับ เพราะมันก็เท่ากับ $cos\dfrac{\pi }{3}$

ก็จะขอตอบแบบ hardwork style ล่ะกันนะครับ แต่จะไม่แสดงวิธีพิสูจน์สูตรนะครับ

สมการที่อยู่ในรูป $\sqrt[3]{\alpha } +\sqrt[3]{\beta } +\sqrt[3]{\gamma } =\sqrt[3]{P} $ โดยที่ $\alpha ,\beta ,\gamma ,P เป็นจำนวนจริง$
เราสามารถหาค่าของ $P$ ในรูปของ $\alpha ,\beta ,\gamma $ได้ตามพหุนามกำลังสามนี้ครับ
$$2P^3-(36r+6L_3)P^2+(54r^2-21L_3^2+18rL_3+27L_6)P+2(3r-L_3)^3=0........(a)$$
เมื่อ $r=\sqrt[3]{\alpha \beta \gamma } $
$L_3=\alpha +\beta +\gamma $
$L_6=\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2$

อย่างเช่นถามว่า $\sqrt[3]{1 } +\sqrt[3]{-2} +\sqrt[3]{4 } =?$
จะได้ $\alpha =1,\beta =-2,\gamma =4$
$r=-2........,L_3=3........,L_6=21$ สร้างพหุนามกำลังสาม$P$ได้คือ
$2P^3+54P^2+486P-1458=0$ หรือ $P^3+27P^2+243P-729=0$
แก้สมการได้ $P=9(\sqrt[3]{2} -1)$ .........แสดงว่า $\sqrt[3]{1 } +\sqrt[3]{-2} +\sqrt[3]{4 } =\sqrt[3]{9(\sqrt[3]{2} -1)} $

ทีนี้กลับมาที่โจทย์ $\sqrt[3]{\alpha } +\sqrt[3]{\beta } +\sqrt[3]{\gamma } =\sqrt[3]{3(\sqrt[3]{2}+1) } $
แสดงว่าค่า $P=3(\sqrt[3]{2}+1)$
$P=3\sqrt[3]{2}+3$
$P-3= 3\sqrt[3]{2}$
$(P-3)^3=54$
$P^3-9P^2+27P-81=0$
หรือ $2P^3-18P^2+54P-162=0...............(1)$
นำสมการ (1) ไปเทียบสัมประสิทธิ์กับ (a) ดู
$36r+6L_3=18...,54r^2-21L_3^2+18rL_3+27L_6=54....,2(3r-L_3)^3=-162$
แต่เท่าที่ลองเช็คดู ค่า $L_3ได้เป็นจำนวนอตรรกยะ$ แสดงว่า $\alpha +\beta +\gamma =อตรรกยะ$
ผมก็เลยเดาว่าค่า $\alpha ,\beta ,\gamma $อย่างน้อยต้องมีจำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นอตรรกยะ

ถ้าพอมีเวลาผมจะลงวิธีหารากที่สามของฟังก์ชันcosอย่างละเอียดเลยครับ......
วิธีการหาพวกค่ารากที่สามของจำนวนจริงพวกนี้ ผมต้องยกเครดิตให้กับวิธีของ Newton's relation ผมแค่ศึกษาและเพิ่มมุมมองเข้าไปอีกทีหนึ่งครับ ถ้าผิดพลาดตรงไหนขออภัยด้วยครับ:)

ฟังก์ชันcosในรูปรากที่สามครับ
$$cos\frac{\pi}{9} =\frac{1}{2} \sqrt[3]{1+3\sqrt[3]{1+3\sqrt[3]{1+...+3\sqrt[3]{1+3\sqrt[3]{1+3\sqrt[3]{4} } } } } } $$

ทั้งหมดกี่ครั้งเหรอครับ

ผมลองทำดูเเล้วได้ประมาณนี้ครับ Let \(\sqrt[3]{\eta_1}+\sqrt[3]{\eta_2}+\sqrt[3]{\eta_3}=\sqrt[3]{\eta}\) with \(r=\sqrt[3]{\eta_1\eta_2\eta_3}, \wp _1=\eta_1+\eta_2+\eta_3\) and \(\wp_2=\eta^2_1+\eta^2_2+\eta^2_3\)
\[\sqrt[3]{\eta_1}+\sqrt[3]{\eta_2}+\sqrt[3]{\eta_3}=\sqrt[3]{\eta}\Longrightarrow \eta=\wp_1+3\sum_{cyc}\sqrt[3]{\eta_1\eta_2}(\sqrt[3]{\eta_1}+\sqrt[3]{\eta_2})+6r=\wp_1+3\sum_{cyc}\sqrt[3]{\eta_1\eta_2}\sqrt[3]{\eta}-3r\Longrightarrow \sum_{cyc}\sqrt[3]{\eta_1\eta_2}\sqrt[3]{\eta}=\dfrac{1}{3}\left(\eta-\wp_1+3r\right)\]
Then we obtain the cubic degree polynomial \[\dfrac{1}{27}\Big(\eta-\wp_1+3r\Big)^3=\eta\Big(\dfrac{\wp_2-\wp_1^2}{2}\Big)+3\sum_{cyc}\sqrt[3]{\eta_1\eta_2}\sqrt[3]{\eta}-3\eta r^2=\eta\Big(\dfrac{\wp_2-\wp_1^2}{2}\Big)+\eta-\wp_1+3r-3\eta r^2\]

มีอีกนิยามครับ

$$cos\frac{\pi}{9} =\frac{1}{2}\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} $$
...โดยที่ $ a_n=3a_{n-2}+a_{n-3}$
...และมีพจน์เริ่มต้น $a_1,a_2และa_3$ที่เหมาะสม
ขอบคุณครับ