ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 8: Application to Astronomy
 

ดาวเคราะห์น้อยดวงหนึ่งโคจรรอบดวงอาทิตย์ ระยะทางจากดาวเคราะห์น้อยดวงนั้นถึงดวงอาทิตย์เมื่อมันอยู่ไกลกันที่สุดคือ 14,600,000,000 กิโลเมตร และระยะทางเมื่อมันอยู่ใกล้กันที่สุดคือ 5,650,000,000 กิโลเมตร จงหาความรี (eccentricity) ของวงโคจรของดาวเคราะห์น้อยดวงนั้น

ดาวเคราะห์น้อยดวงนี้ โคจรเป็นรูปวงรี ดังรูป



จะได้ $\ a\ =\ 146\times 10^8\ กม.\ $ และ $\ b\ =\ 565\times 10^7\ กม.\ $
จาก$\ c\ =\ \sqrt{a^2-b^2}\ $
$\therefore \ c\ =\ \sqrt{(146\times 10^8+565\times 10^7)(146\times 10^8-565\times 10^7)}$
$\quad c\ =\ 10^7\sqrt{(1460+565)(1460-565)}$
$\quad c\ =\ 10^7\sqrt{(2025)(895)}$
$\quad c\ =\ (45)10^7\sqrt{895}$

จาก $\ e\ =\ \displaystyle{ \frac ca\ } $
$$\therefore \ e\ =\ \frac{(45)10^7\sqrt{895}}{146\times 10^8} \ $$
$$e\ =\ \frac{(45)\sqrt{895}}{1460} \ $$
$$e\ \approx \ 0.922 \ $$

นั่นคือ ความรี (eccentricity) ของดาวเคราะห์น้อยวงนี้มีค่าประมาณ 0.922 ครับ ;)

ยังไม่ถูกครับน้อง R-Tummykung de Lamar ตามกฎของ Kepler บอกว่า...

โดยกฎของแคปเลอร์
เราได้ความสัมพันธ์ดังนี้
R/r =(1+e)/(1-e) เมื่อ R คือ ระยะที่ไกลที่สุด r คือระยะที่ใกล้ที่สุด
เมื่อแทนค่าต่างๆลงไป
(1.46x$10^8 $)/(5.65x$10^7 $) =(1+e)/(1-e)
แก้สมการจะได้
e = 0.44 ครับ
นั่นคือ ความรีมีค่า 0.44(ประมาณโดยหลักเลขนัยสำคัญ)

ลองมาทำข้อนี้เปลี่ยนบรรยากาศจากการคิดข้ออื่นไม่ออกก่อน (อ้างอิงกฎจากที่นี่) :p

ให้ดาวเคราะห์น้อยโคจรเป็นรูปวงรีที่มีสมการเป็น $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\ a>b$
จากกฎที่อ้างอิงข้างต้นจะสมมติให้ดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัส c และให้ d และ D แทนระยะห่างใกล้และไกลที่สุดจากวงโคจรไปหา c ดังนั้นจะได้ $a+c=D$ และ $a-c=d$ นั่นคือ $e=\frac{c}{a}=\frac{D-d}{D+d}$
แทนค่า D,d จากโจทย์จะได้ e=0.442 (ประมาณค่าเป็นทศนิยมสามตำแหน่ง)

อ้อ...ดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสหรอครับ นึกว่าจุดศูนย์กลาง

ผมยังสงสัยนิดนึงอะครับ ตรงที่
คืออะไรอะครับ ประมาณโดยหลักเลขนัยสำคัญ

:happy:

เรื่องเลขนัยสำคัญเชื่อว่าใครที่เรียนสายวิทย์ม.ปลายคงรู้จักทุกคนตามไปดูได้ที่นี่ และ ที่นี่ครับ

ป.ล. เพิ่งเห็นคุณ warut ออกโจทย์แนวประยุกต์นะนี่...
ป.ล.2 มาแก้ลิงค์ เพราะเวบบอร์ดแบ่ง url ตอนพิมพ์ติดกันบรรทัดเดียว

ข้อนี้ผมเสียดายแทนน้อง R-Tummykung de Lamar จริงๆ เพราะถ้าดูตามเวลาแล้วน่าจะเป็นคนเดียวที่ได้ข้อนี้ไป แต่เนื่องจากไม่ทราบว่าดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสของวงรี ไม่ใช่จุดศูนย์กลาง เลยผิด :cry:

สำหรับคำตอบของคุณ nongtum นั้นเหมือนกับที่ผมทำเด๊ะๆ จึงได้ไป 5 คะแนนครับ

สำหรับคำตอบของน้อง Alberta นี่ผมยังไม่ค่อยเคลียร์ครับ คือสูตร R/r =(1+e)/(1-e) นี่เป็นสูตรที่เค้าใช้กันในทางดาราศาสตร์เหรอครับ แต่ถ้าใช้สูตรนี้ก็ต้องลำบากแก้สมการอีก ยังไงก็มาอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับสูตรนี้ให้ฟังหน่อยนะครับ

ส่วนเรื่องเลขนัยสำคัญเนี่ยผมไม่ซีเรียสมากครับ (เพราะตอนเรียนผมก็ตกเรื่องนี้เหมือนกัน :p ) จะตอบทศนิยม 2 หรือ 3 ตำแหน่งก็ตามใจ อย่าให้ละเอียดไปกว่านั้นก็พอแล้ว

ส่วนโจทย์ประยุกต์ข้อต่อไปจะเป็นการนับ isomers ของ alkane โดยใช้ Graph Theory... พูดเล่นครับ :laugh:

สำหรับ orbital parameters ของดาวเคราะห์น้อยดวงนี้ผมไม่ได้มั่วขึ้นมาเองนะครับ มันมีอยู่จริงๆ ถ้าใครบอกได้ว่าดาวเคราะห์น้อยดวงนี้ชื่ออะไร พิเศษตรงไหน ผมมีคะแนนให้อีก 2 คะแนนครับ (จะโดนด่ามั้ยเนี่ยว่าไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ :rolleyes: )

ไม่มีปัญหาครับหากมีเป็นครั้งคราว เพราะหากเรียนแต่คณิตศาสตร์อย่างเดียวก็อยู่ไม่ได้ :o

จากข้อมูลที่นั่งค้นจากกูเกิลได้พักใหญ่ ขอยกข้อมูลบางส่วนที่หามาได้มาตอบคำถามคุณ warut เกี่ยวกับดาวเคราะห์ดวงที่สิบ(?)ในระบบสุริยจักรวาลของเรา ละกันนะครับ หวังว่าคงจะใช่ รายละเอียดเพิ่มเติมหาอ่านได้ไม่ยากจากทางอินเทอร์เนตครับ ;)

The discovery of 2003 UB313, the 10th planet.

ข้อความจาก solstation.com

On July 29, 2005, a team of astronomers (including Mike Brown, Chad Trujillo, and David Rabinowitz) announced the discovery of a planetary body (2003 UB313) that may be more than 17 percent larger than Pluto. ... As a result, there is renewed debate among the astronomical community over the definition of planet and how large planetary bodies roughtly close to the size of Pluto that are being found in the outer Solar System beyond Neptune's orbit should be classified.

Nicknamed Xena, the object is currently located at around 98 AUs, which appears to be the point of its farthest orbital distance from our Sun, Sol -- a distance that is up to more than three times farther out than that of Pluto or Neptune. However, 2003 UB313 will eventually move in as close as Pluto and Neptune (around 38 AUs) in a 557-year orbit around Sol that has a semi-major axis of 67.7 AUs. In addition to a high eccentricity of 0.442 that is even larger than Pluto's, 2003 UB313's orbit is also tilted almost 44.2 degrees from the ecliptic where most of the planets in the Solar System orbit, and so many astronomers assume that gravitational encounters with a more massive object moved it into its current, highly inclined orbit.

Orbital elements and other data

ครับ พี่Warut คือสูตรนี้เป็นสูตรที่ใช้กันในทางดาราศาสตร์จริงๆโดยการประยุกต์จากกฎของKeplerข้อที่2
สูตรเต็มๆมีดังนี้ครับ

Vp/Va = Ra/Rp = ( 1+e ) / (1-e)
เมื่อ Vp คือ ความเร้ว ณ จุดใกล้สุด
เมื่อ Vaคือ ความเร้ว ณ จุดไกลสุด
เมื่อRpคือระยะใกล้สุด
เมื่อ Raคือระยะไกลสุด
เมื่อ Rp+Ra = 2a เมื่อ a คือ ระยะครึ่งแกนยาวของวงรี :kaka:

ว้าว...ได้ความรู้ดาราศาสตร์เพิ่มแฮะ ขอบใจน้อง Alberta มากครับ ถ้างั้นก็รับไปเลย 5 คะแนนเต็ม

สำหรับข้อมูลที่คุณ nongtum หามาได้อย่างรวดเร็วก็ใช่อันที่ผมถามหาแล้วล่ะครับ ดังนั้นคุณ nongtum รับเพิ่มอีก 2 คะแนนรวมเป็น 7 คะแนนที่ได้จากข้อนี้ การค้นพบดาวเคราะห์(น้อย)ดวงนี้เป็นข่าวใหญ่ที่สุดข่าวนึงของวงการดาราศาสตร์ของปีที่แล้ว ประกอบกับค่า e ของมันมากกว่า 0 มาก (วงโคจรดาวเคราะห์ส่วนใหญ่มีค่า e เกือบเป็นศูนย์ คือวงโคจรเกือบเป็นรูปวงกลม) ผมเลยเลือกเอามาใช้ครับ

คำตัดสินออกมาแล้วนะครับว่า เราจะไม่นับพลูโตเป็นดาวเคราะห์อีกต่อไป ระบบสุริยจักรวาลของเราจะมีดาวเคราะห์เหลือเพียง 8 ดวง สาเหตุหลักที่นำไปสู่คำตัดสินอันนี้ก็คือ การค้นพบดาวเคราะห์น้อย Xena (ที่ผมนำเอาค่า eccentricity ของวงโคจรของมันมาใช้เป็นโจทย์) ซึ่งเป็นดาวเคราะห์น้อยที่มีขนาดใหญ่กว่าพลูโตนั่นเองครับ

ว่าจะมาเติมข้อมูลให้สมบูรณ์ตั้งนานแล้ว แต่ก็ลืมทุกที

ปัจจุบัน Xena (2003 UB₃₁₃) มีชื่ออย่างเป็นทางการแล้วคือ Eris ทั้ง Pluto และ Eris ตอนนี้ถูกจัดให้เป็น dwarf planet เราพบดวงจันทร์ของ Pluto แล้ว 3 ดวง (Charon, Nix, Hydra) และของ Eris 1 ดวงคือ Dysnomia ครับผม

อ่า...นักดาราศาสตร์ทำแบบนี้ไม่ทำให้วงการโหราศาสตร์ปั่นป่วนเหรอครับ เพราะนักโหราศาสตร์ก็ใช้ดาวเคราะห์ดูดวงเหมือนกัน :laugh: :laugh: