matrix 0
 

ช่วยแสดงวิธีทำข้อนี้หน่อยครับ
จงหาเมทริกซ์Aที่มีมิติ 2*2 ทั้งหมดซึ่ง AA = 0

ลุยเลยครับ

สมมติ $A=\bmatrix{a & b \\ c & d} $

จะได้ $A^2=\bmatrix{a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & d^2+bc} $

จากนั้นก็แก้ระบบสมการ

(1) $a^2+bc=0$

(2) $b(a+d)=0$

(3) $c(a+d)=0$

(4) $d^2+bc=0$

หากมองที่ค่า $b$ จะเป็นไปได้สองกรณี

กรณีที่ 1 $b=0$

จะได้ทันทีว่า $a=d=0$

ดังนั้นจะได้

$A=\bmatrix{0 & 0 \\ c & 0} ,c\in\mathbb{R}$

กรณีที่ 2 $b\neq 0$

จะได้ว่า

$a=-d, c=-\dfrac{a^2}{b}$

จึงได้

$A=\dfrac{1}{b}\bmatrix{ab & b^2 \\ -a^2 & -ab},a\in\mathbb{R},b\neq 0 $

สมมติ $A=\bmatrix{a&b\\c&d\\}$ จะได้ระบบสมการสี่ตัวแปรสี่สมการจาก $A^2=0$
คำตอบที่ได้ก็ตามนี้เลยครับ

ปล. มัวแต่ช้าไปหน่อย เสร็จคุณ nooonuii เลยแฮะ

ขอบคุณครับแล้วเปลี่ยนจาก AA=0 เป็น AA=I2 ครับ

ก็เทียบแบบเดิมครับ แต่เปลี่ยนจาก $\bmatrix{0 & 0 \\ 0 & 0}$ เป็น $\bmatrix{2 & 0 \\ 0 & 2}$ จึงเทียบได้ว่า
$a^2+bc=2$

$b(a+d)=0$

$c(a+d)=0 $

$d^2+bc=2$

.....

เออคือว่า I2 ของผมหมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติ 2*2 นะครับขอโทษครับ

\[I_2=\pmatrix{1&0\\0&1}\]
แล้วก็เปรียบเทียบเหมือนเดิมครับ