สมบัติพื้นฐานพวกนี้มีวิธีพิสูจน์ยังไงหรอครับ
 

1. สมบัติการสลับที่,เปลี่ยนกลุ่ม การบวก,คูณ

2. $a(b+c)=ab+ac$

ให้ $a,b > 0$

3. $a^{m+n} = a^m \times a^n$

4. $a^{m-n} = a^m \div a^n$

5. $a^{mn} = (a^m)^n$

6. $(ab)^m = a^m\times b^m$

$a(b+c)=ab+ac$

แบบนี้ได้ไหมครับ

$a(b+c)$

$=\underbrace{(b+c)+(b+c)+(b+c)+...+(b+c)}_{a \, times}$

$=\underbrace{(b+b+b+...+b)}_{a \, times}+\underbrace{(c+c+c+...+c)}_{a \, times}$

$=ab+ac$

แต่ต้องพิสูจน์สมบัติสลับที่ก่อน ผมพิสูจน์ไม่เป็นครับ

แบบนี้ได้ไหมครับ

$a+b$

$=\underbrace{1+1+1+...+1}_{a \, times}+\underbrace{1+1+1+1+...+1}_{b \, times}$

$=\underbrace{1+1+1+...+1}_{a+b \, times}$

$=\underbrace{1+1+1+...+1}_{b \, times}+\underbrace{1+1+1+1+...+1}_{a \, times}$

$=b+a$

ถ้าเป็นเรื่องของจำนวนจริง สมบัติสลับที่และการเปลี่ยนหมู่ทั้งการบวกและการคูณเป็นสัจพจน์ครับ

ซึ่งสัจพจน์เป็นสิ่งที่เรายอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์

แต่ถ้าเป็นจำนวนเต็มบวกก็สามารถพิสูจน์ได้แต่ต้องสร้างชุดของสัจพจน์อย่างอื่นขึ้นมาก่อนครับ

เข้าใจแล้วครับ แล้วสมบัติเลขยกกำลังนี่สัจพจน์รึป่าวครับ

สมบัติของเลขยกกำลังเป็นทฤษฎีบทครับ

มีวิธีพิสูจน์มั้ยครับ หรือต้องใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง

ถ้า $m,n$ เป็นจำนวนเต็มก็สามารถใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้ครับ