ขอร้องให้ช่วยอีก
 

คืออยากให้ช่วยแสดงวิธีคิดโจทย์เหล่านี้หน่อยค่ะ

1. กำหนดp เป็นจำนวนจริงบวก และเส้นตรง px+5y+9 =0 สัมผัสวงกลม $x^2 +y^2-6x-8y=0$ แล้วจงหาค่า $p^2+1$

2. จุดสังเกตหนึ่งมองวัตถุ a อยู่ทางทิศเหนือ และวัตถุb อยู่ทางทิศเหนือเฉียงลงมาทางทิศ ตะวันตก 30 องศา เมือเดินไปทางทิศตะวันตกเฉียงเหนือได้\sqrt{6} ไมล์จะมองเห็วัตถุ a อยู่ทางทิศตะวันตกเฉียงเหนือพอดี และวัตถุ b อยู่ทางทิศตะวันออกพอดี จงหาว่าวัตถุทั้งสองอยู่ห่างกันเท่าไร

2.


Credit : Vcharkarn

อ๋อๆ ขอบคุณน้องคนรักคณิตมากเลย แหะๆ ตอนแรกเราอ่านโจทย์เป็นจุด b อยู่ทางทิศตะวันตกพอดี
ถึงว่าทำไมโจทย์มันเป็นไปไม่ได้ เราอ่านผิดนี่เอง

แล้วเออ คือว่าอยากรู้ว่าข้อแรกทำไงดีคะ

เผอิญว่ามีอีกข้อให้ช่วยค่ะ

$x+y+z=15$
$x^2+y^2+z^2=83$
$x^3+y^3+z^3=495$

แล้ว $x^4+y^4+z^4= ?? $

คือว่าทำได้แค่ครึ่งๆกลางๆค่ะ
อยากทราบว่า $x^4+y^4+z^4$ มันมีแบบแยกตัวประกอบแบบพวกที่เราใช้ๆกันอยู่ของกำลังสองและกำลังสามมั๊ยคะ
หน้าตาของมันเป็นยังไงขอความกรุณาด้วยค่ะ

ข้อแรกผมคิดได้$p=12$ ดังนั้น$p^2+1 = 145$..เอาแค่สั้นๆ เพราะสมการติดตัวเลขเยอะ ถ้าเขียนทุกขั้น ผมตายก่อนแน่ๆ
แปลงสมการให้เป็น$(x-3)^2+(y-4)^2=25$เป็นสมการของวงกลม
จากสมการ$px+5y+9=0$ เขียน$y$ในรูปของ$x$
ได้ว่า$y=\frac{-(9+px)}{5} $ นำค่าของ$y$ไปแทนในสมการวงกลม
จะได้สมการว่า
$(p^2+25)x^2+(58p-150)x+441=0$
สมการนี้จะมีคำตอบเดียวเมื่อ$b^2=4ac$....คำว่ามีจุดสัมผัสเป็นตัวบอกว่ามีค่า$x,y$เพียงคู่เดียวเป็นคำตอบของสมการ
ดังนั้น$(58p-150)^2 = 4(441)(25+p^2)$
ได้สมการของค่า$p$คือ$8p^2-87p-108=0$
แก้สมการได้ค่า$p=(\frac{-9}{8} ), 12$
โจทย์กำหนดค่า$p$เป็นจำนวนจริงบวก จึงเหลือค่า$p$ทื่ใช้ได้คือ $12$

ผมลองแก้โจทย์โดยใช้วิธีสร้างสมการเส้นตรงอีกเส้นที่ตั้งฉากกับจุดสัมผัส วิธีนี้ต้องแก้ค่า$p$กำลังสาม วุ่นวาย เสียเวลาเยอะ วิธีนี้น่าจะเปลืองเวลาน้อยกว่าวิธีสร้างสมการเส้นตรง แต่ต้องทอนตัวเลขเยอะมาก....

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)$ ได้เป็น$83=225-2(xy+xz+yz)$
ฉะนั้น$xy+xz+yz=71$
แล้ว$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+xz+yz)+3xyz$
ได้เป็น$495=3375-3(15)(71)+3xyz$ เป็น $315=3xyz$ ฉะนั้น$xyz=105$
จาก$xy+xz+yz=71$ ยกกำลัง2;$(xy)^2+(xz)^2+(yz)^2+2(xyz)(x+y+z)=5041$
แทนค่าที่ได้ $(xy)^2+(xz)^2+(yz)^2+2(105)(15)=5041$
ทำให้ได้$(xy)^2+(xz)^2+(yz)^2=1891$
และจาก$x^2+y^2+z^2=83$ ยกกำลัง2;$x^4+y^4+z^4+2[(xy)^2+(xz)^2+(yz)^2]=6889$
แทนค่า $x^4+y^4+z^4+2(1891)=6889$
ฉะนั้นได้$x^4+y^4+z^4=3107$