โจทย์พิสูจน์ ทฤษฎีจำนวน
สำหรับจำนวนเต็มบวก n จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้
1. $24 \mid (2*7^n+3*5^n-5)$ โจทย์แนะนำให้ใช้อุปนัย แต่ผมทำไม่ได้ครับ ช่วยแสดงวิธีทำด้วยครับ 2. $(3!)^n \mid (3n)!$ :please::please::please: |
$2\cdot 7^{n+1}+3\cdot 5^{n+1}-5=(2\cdot 7^n+3\cdot 5^n-5)+12(7^n+5^n)$
ก้อนหลังหารด้วย $24$ ลงตัวได้ยังไงกันนะ |
ขอบคุณครับ คุณ nooonuii
ได้ข้อนี้แล้วครับ ตอนแรกผมคำนวณผิดไปเองครับ :wacko::wacko: |
หา combinatorial proof ข้อสองดีกว่า
มียางลบเหมือนอยู่ 3n ก้อน เขียนเลข 1,2,3,...,n บนยางลบ เลขละละสามก้อน นำยางลบทั้ง 3n ก้อนมาวางเรียงเป็นเส้นตรง ได้ $\frac{(3n)!}{(3!)^n} $ วิธี ซึ่งยังไงวิธีเรียงสิ่งของมันก็เป็นจำนวนเต็ม ฉะนั้น $\frac{(3n)!}{(3!)^n} $ ก็เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $(3!)^n\mid (3n)!$ |
$ (3!)^1 \mid (3.1)! $ ดังนั้น P(1) เป็นจริง สมมุติ P(k), $ (3!)^k \mid (3k)! $ เป็นจริง สำหรับบางจำนวนเต็มบวก k P(k+1), $ (3!)^{k+1} \mid [3(k+1)]! $ $ (3!)^k \cdot 6 \mid (3k+3)(3k+2)(3k+1) (3k)! $ $ 3 \mid 3k+3 $ และ $ 2 \mid 3k+3)(3k+2)(3k+1) $ ทำให้ $ 6 \mid (3k+3)(3k+2)(3k+1) $ ดังนั้น P(k+1) เป็นจริง $ (3!)^n \mid (3n)! $ เป็นจริง สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n $ จำนวนตัวประกอบ\; 3 \;ของ \;(3n)! = \left\lfloor\;\frac{3n}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\;\frac{3n}{3^2}\right\rfloor + ?. \geq n $ $ จำนวนตัวประกอบ \;2 \;ของ\; (3n)! = \left\lfloor\;\frac{3n}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\;\frac{3n}{2^2}\right\rfloor + ?. \geq n $ $ 2^n \cdot 3^n \mid (3n)! $ $ (3!)^n \mid (3n)! $ :) |
ข้อแรก ใช้เรื่อง modulo เมื่อ n เป็นเลขคู่เลขคี่ พิสูจน์ได้ว่า $24 \mid (2*7^n+3*5^n-5)$
ยังไม่เข้าใจวิธีของคุณNooonuii ครับ รู้แค่ว่าก้อนหลังสุดหารด้วย24ลงตัว ข้อสอง ก็ใช้เลอจองด์ |
อ้างอิง:
|
ขอรบกวนคุณNooonuiiอีกสักครั้งนะครับ ผมงงกับเครื่องหมายลบตรง $3\cdot 5^{n+1}$ของก้อนแรกน่ะครับ และถ้าอุปนัยแบบนี้ แสดงว่าก้อนแรกหารด้วย24ลงตัว เราจะรู้ได้อย่างไรครับ ผมรู้สึกว่ามันวนกลับไปที่จุดเดิม:confused:
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 09:05 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha