[หนังสือ สอวน.] Polynomial equation posn
 

หน้า $123$

1.จงหาพหุนาม $P(x)$ ทั้งหมดที่ทำให้ $xP(x-1)=(x-26)P(x)$

2. ให้ $P(x)$ เป็นพหุนามที่ถูกหารด้วย $x-a,x-b,x-c$ แล้วเหลือเศษ $a,b,c$ ตามลำดับ
จงหาเศษเหลือเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $(x-a)(x-b)(x-c)$

3. จงหาค่า $a,b$ ที่ทำให้ $x^2+1 | (ax+b)(x^5+1)-(5x+1)$

ไม่รู้ว่าเอามาให้ทำหรืออยากได้เฉลยเหมือนกันนะครับ

ไหนๆผมก็เข้ามาแล้ว

1.ลองใช้วิธีประมาณนี้ดู http://www.artofproblemsolving.com/F...c.php?t=335804
ถ้าไม่ละเอียดพอลองเปิดสอวนเล่มสมการเชิงฟังก์ชันหน้า 355

3. แทน $x=i,-i$ เป็นสมการสองตัวแปรแก้หา $a,b,$ ได้หรือเปล่าไม่รู้ ลองดูนะ

ข้อ 2 ท่านอื่นละกันนะครับ :laugh:

2. ลองพิจารณาพหุนาม $P(x)-x$ ดูสิครับ

ข้อ 2. ต้องกำหนดว่า $a\not= b\not= c$ หรือเปล่าครับ

ผมทำแบบนี้ครับ

$P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+mx^2+nx+k$

ได้เศษเหลือคือ $x$

อย่างนี้หรือเปล่าครับ (พอดี $P(x)$ ไม่ตรงกับคุณ lek 2554)
$Q(x)=P(x)-x$
ทำให้ได้ว่า $Q(a)=Q(b)=Q(c)=0$ นั่นคือ $a,b,c$ เป็นรากของ $Q(x)$
ดังนั้น $Q(x)=R(x)(x-a)(x-b)(x-c)$
ฉะนั้น $P(x)=R(x)(x-a)(x-b)(x-c)+x$
ได้เศษเป็น $x$

ก็ตรงอยู่นิครับ

อีกข้อหนึ่งครับ
จงหา $P(x)$ ที่มีกำลังน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ ซึ่งเมื่อหารด้วย $(x-1)^2,(x-2)^3$ แล้วเหลือเศษ $2x,3x$ ตามลำดับ

$P(x)=4x^4-27x^3+66x^2-65x+24$

ทำยังไงหรอครับ

ใช้อนุพันธ์ สะดวกที่สุดแล้วครับ