Rummy League
 

เกมไพ่ "รัมมี่" เป็นเกมไพ่ที่ใช้ผู้เล่น $3$ คน และให้ $k$ เป็นจำนวนนับที่มากกว่า $1$

จงแสดงว่ามีวิธีการจัดการแข่งขันรัมมี่ให้คน $\frac{3^k-1}{2}$ คน โดยที่ทุกคนได้เล่นรัมมี่เป็นจำนวนเกมเท่ากัน :)

มี Hint ไหมคะ :wacko:

ลองแสดงว่าถ้าหากมีคน $4,9$ คน จะมีวิธีจัดการแข่งขันรัมมี่ตามที่ต้องการได้ครับ

เป็นการแข่งขันแบบพบกันหมดหรือเปล่าคะ

9 คน ทำได้หรือคะ

ไม่ต้องพบกันหมดก็ได้ครับ ขอแค่ทุกคนได้เล่นเกมเป็นจำนวนเท่ากันก็เพียงพอครับ

ขอบคุณที่ให้คำแนะนำนะคะ ไม่แน่ใจว่าถูกไหมนะ

จะพิสูจน์โดยหลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์บนตัวแปร n

กำหนด P(n) แทนข้อความ มีวิธีการจัดการแข่งขันรัมมี่ให้คน $\frac {3^n -1}{2}$ คน, $n\geq 2 $ โดยที่ทุกคนได้เล่นรัมมี่เป็นจำนวนเกมเท่ากัน

ขั้นฐาน : จะแสดงว่า P(2) เป็นจริง

ให้ A, B, C, D เป็นผู้เล่น 4 คน จะสามารถจัดการแข่งขันโดยที่ทุกคนได้เล่น 3 เกมเท่ากัน ดังนี้

A-B-C
A-B-D
A-C-D
B-C-D

ขั้นอุปนัย : สมมุติว่า P(k) เป็นจริง จะแสดงว่า P(k+1) เป็นจริง

แบ่งคน $\frac {3^{k+1} -1}{2} $ เป็น 2 กลุ่ม

กลุ่มที่ 1 มีคน $\frac {3^k -1}{2} $คน

กลุ่มที่ 2 มีคน $ 3^k $คนที่เหลือ

จาก P(k) เป็นจริง จะสามารถจัดการแข่งขันโดยที่ทุกคนในกลุ่มที่ 1 ได้เล่น m เกมเท่ากัน, m $\in [1, {\frac {3^k -3}{2} \choose 2}]$

จาก $3\mid 3^k $ จะสามารถจัดการแข่งขันโดยที่ทุกคนในกลุ่มที่ 2 ได้เล่น m' เกมเท่ากัน, m' $ \in [1, {{3^k -1} \choose 2}]$

เนื่องจาก $ {{3^k -1} \choose 2} > {\frac {3^k -3}{2} \choose 2} $ ดังนั้น เลือกค่า m' ที่เท่ากับ m

ทำให้สามารถจัดการแข่งขันให้คน $\frac {3^{k+1} -1}{2} , k \geq 2 $ คน โดยทุกคนได้เล่น m เกมเท่ากัน

ดังนั้น P(k+1) เป็นจริง

โดยหลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์ P(n) เป็นจริง $\forall n \in \unicode{8469}-\{1\}$

จึงสามารถจัดการแข่งขันให้คน $\frac {3^k -1}{2}$ คน, $k \geq 2 $ โดยที่ทุกคนได้เล่นรัมมี่เป็นจำนวนเกมเท่ากัน

หายไปนาน ==" วิธีคุณธรรมะก็ได้เหมือนกันๆ
Idea ผมคือแสดงว่า $4,9$ คนสามารถจัดแข่งได้ (ทุกคนได้เล่น $3$ เกม)

กรณีสูงกว่านี้ก็ใช้จากที่ว่า $\frac{3^n-1}{2}\equiv 4 (mod 9)$ โดยแบ่งเป็น $4$ คนก่อนแล้วที่เหลือแบ่งออกเป็นกลุ่มละ $9$ คนครับ :)

ขอบคุณมากนะคะ :great: