จะหา vector นี้ยังไง
 

ถ้ามี สมการ plane ใน สามมิติ

จะหา vector ที่ตั้งฉากกับ planeนี้ ได้อย่างไรครับ

ขอแนวคิดหน่อยครับ :kiki:


เช่น

$x+2y+2z=10$

มี normal vector คือ <1,2,2>


$x+y+z=0$

มี normal vector คือ <1,1,1>


มันมายังไงครับ

หากหาแค่ตัวอย่างเวกเตอร์ และทราบสมการระนาบ ก็น่าจะหาเวกเตอร์หนึ่งที่อยู่บน plane นี้ได้ สมมติว่าเป็น $\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$
จากนั้นก็หาเวกเตอร์ $\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)$ ที่ทำให้ $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0$ ครับ
สังเกตว่าเวกเตอร์ $\vec{b}$ มีไม่จำกัด ขึ้นอยู่กับ $\vec{a}$ ที่เลือกครับ

เป็นทฤษฎีใน Linear algebra ครับ ซึ่งกล่าวว่า

ทุกสมการระนาบในสามมิติจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูป

$~~~~~~~~~~(X-v)\cdot N=0$

ได้เสมอ

เมื่อ
$X=(x,y,z)$ เป็นเวกเตอร์ใดๆในระนาบนั้น

$v=(p,q,r)$ เป็นเวกเตอร์คงที่ที่อยู่บนระนาบนั้น

$N=(a,b,c)$ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนั้น

$v,N$ มีเยอะแยะตามที่คุณ nongtum กล่าวไว้ครับ

ถ้าสมการระนาบอยู่ในรูป $ax+by+cz=d$

เราจะได้ทันทีว่า $N=(a,b,c)$

ส่วน $v$ หาจากการแก้สมการ $v\cdot N=d$

ตัวอย่าง ถ้าสมการระนาบเป็น $x+2y+2z=10$

ได้ทันทีว่า $N=(1,2,2)$

ให้ $v=(p,q,r)$

เราจะหา $v$ โดยการแก้สมการ

$v\cdot N = 10$

$p+2q+2r=10$

ซึ่งเราสามารถเลือกได้มากมายเพราะัจำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปร
สมมติเลือก $p=10,q=0,r=0$
ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการระนาบได้ในรูป

$(X-v)\cdot N=0$

เมื่อกระจายออกมาจะได้เป็น

$(x-10)+2(y-0)+2(z-0)=0$

$x+2y+2z=10$

ซึ่งก็คือสมการเดิมนั่นเอง :)

กระจ่างแจ้ง เลยครับ ขอบคุณทั้งสองท่าน